г/Л + г -f ЛГб

а Ро - Рэз меньше.

Подставляя полученные выражения в (9.7.4), приходим к уравнению

7Го =

1-Л6

с решением

X--Г1-

1-Л6

7Го =

Г + Л(6* - 6)

Подстановка его в (9.7.2) дает а = X . Таким образом, рассматриваемая нами система, как и ее простейший аналог - обычная M/G/1 , при сделанном выборе моментов регенерации процесса представима вложенной цепью Маркова.

Итак, расчет стационарных вероятностей состояний для нашей системы должен выполняться в следующем порядке:

1) Вычислить среднюю длину периода непрерывной занятости согласно (9.7.5).

2) Положить р* = 7Го = 1/(г -Ь ЛТв) .

3) По формулам (9.7.2) найти вероятности состояний для режима со включенным обслуживанием.

4) К найденным вероятностям для А; = 1,? - 1 добавить pJ .

средняя длительность разогрева 6* ;

длительность обслуживания остальных г - 1 заявок, формирующих порог включения - в среднем {г - 1)6 ;

длительность обслуживания вновь прибывших заявок - в среднем

ЬХТв.

Итак, Tj5 = 6* 4- b{r - 1 -f- ХТв) , откуда

6- +(г-1)6

1-Л6 (-

Общая вероятность свободного состояния

г/Л г

9.7.3. Распределение времени пребывания

Используя закон сохранения стационарной очереди, можно показать (см. разд. 3.11), что ПЛС i(s) распределения времени пребывания заявки в системе с дисциплиной обслуживания FCFS связано с производящей функцией P(z) распределения числа заявок в системе формулой

u(s) = P{l-s/\). (9.7.6)

Умножая строки системы уравнений (9.7.2) на соответствующие степени Z и выполняя суммирование, для производящей функции вероятностей состояний со включенным обслуживанием получаем уравнение

Здесь Q{z) и Q*(z) -производящие функции вероятностей {qk] для обычного режима обслуживания и разогрева соответственно. Заметим, что

= I e--UB(t)=P{\{l-z)),

т.е. сводится к ПЛС с указанным параметром от распределения длительности обслуживания.

С учетом вероятностей дополнительных состояний с отключенным обслуживанием производящая функция распределения числа заявок

P{z) = P{z)-p*oY = +Po3f j=l

Подставляя эти результаты в (9.7.6), получаем обобщение формулы Полячека-Хинчина:

Моменты соответствующего распределения можно найти дифференцированием u{s) в нуле - аналитическим или численным.

Самостоятельный интерес представляют частные случаи - порог включения и разогрев порознь. В первом случае Ь - Ь* , 0*{) = /?() и подставляемая в выражение для р* средняя длина ПНЗ

Тв = г6/(1-А6).

Во втором случае (г = 1) ПЛС распределения пребывания сводится к

( l~s/X-0is) причем Тв = 67(1 - Л6) , р5 = 1/(1 + ХТв)

9.8. Замкнутая система восстановления

Полученные выше результаты относились к ситуации, когда интенсивность Xk потока заявок на восстановление не зависит от числа к находящихся в ремонтном органе необслуженных заявок. В противном случае говорят о замкнутых системах обслуживания. При ограниченном числе R источников заявок обычно считают, что Х - X(R - к) . Методы расчета марковских систем подобного вида хорошо известны (формулы Энгсета). Рассчитывать немарковские системы значительно сложнее. Особенно труден анализ системы, где интенсивность отказов зависит от объема ЗИПа s (запас s рассматривается как холодный резерв, не подверженный отказам). Между тем этот случай достаточно типичен. Если считать, что в рабочей системе установлены R источников заявок, то интенсивность отказов будет оставаться постоянной и равной XR , пока в системе восстановления не скопится к > s заявок. Тогда интенсивность потока заявок начнет убывать по закону Xk - X[R - [к - s)\. Методика расчета подобной СМО вида М/G/l/(R-\-s) была предложена автором в статье [65], оказалась весьма громоздкой и к тому же неприменимой для многоканальных систем восстановления. Однако аппроксимационные методы, описанные в главе 3, без труда обобщаются и на этот случай. Здесь мы отметим особенности его реализации:

1) Число ярусов диаграммы равно R-\-s-\-l.

2) Интенсивность потока заявок зависит от номера яруса.

3) Система уравнений баланса вероятностей микросостояний решается только методом итераций.