7Г/, =

/ А:-1 \ /

\ j = l

k=zO,R-\-s-l, (9.8.2)

е = 1.

9.8.2. Расчет стационарных вероятностей

Вновь обозначим через а среднюю частоту немарковских переходов между состояниями системы. Средний интервал между такими

4) Условие баланса заявок, используемое для расчета вероятности свободного состояния для разомкнутых систем, должно быть заменено требованием нормировки вероятностей.

В отличие от ранее рассмотренных ситуаций, редуцированные формы условия оптимальности объема ЗИПа здесь неприменимы, и задачу приходится решать перебором в разумном диапазоне, непосредственно сравнивая значения ожидаемых затрат. При этом для каждого рассматриваемого s систему восстановления придется рассчитывать заново.

Найдем способ расчета стационарных вероятностей состояний одноканальной системы с указанной зависимостью интенсивности потока от числа заявок в ней и произвольным распределением длительности обслуживания В{1) .

9.8.1. Расчет вложенной цепи Маркова

Вложенную цепь Маркова для интересующего нас процесса мы вновь будем строить аналогично разд. 3.13. Обозначим qk,j вероятность прибытия j новых требований за время обслуживания при начальном состоянии к . В нашем случае финальные вероятности состояний вложенной цепи связаны системой уравнений

к + 1

= I] зЧзМ+1-3 + 7Годо,/с, = О, Д + 5 - 2. (9.8.1)

Из этих формул выводим рекуррентные выражения для расчета вероятностей:

переходами

= 6(1 - 7Го) + (1/Ло + 6)7Го = 6 + 7Го/Ло. (9.8.3)

Из условия (9.7.2) для стационарных вероятностей следует

Т~Т~Г.- А= 0,5+Л-1,

Лк Ао6+ 7Го

9.8.3. Вероятности перехода

Ключом к реализации описанного алгоритма является расчет входящих в (9.8.2) вероятностей {qkj} прибытия ровно j заявок при начальном состоянии к . Введем вспомогательные вероятности

, . f (nXt

dB(t)

(9.8.5)

прибытия за время обслуживания B{t) ровно j заявок пуассоновского потока интенсивности пХ . В наиболее простом случае к j < s

4kj - j(), к <s, j -0,s- k.

Для случая k> s потенциальных источников заявок будет R-{k - s) , причем каждый из них независимо от остальных за время t даст заявку с вероятностью 1 -е и не даст - с вероятностью е~ . Распределение числа поступивших за / заявок будет биномиальным, и

(R - {к - зУ

V i

(1 e-)ie-t-(- --J] dBit)

dB{t)

fR-k + y\jfj\

-\[R+> + i-(k+j)]t

dB{i)

R-k + s\

Yr.h-yMR + s + i-(k + j)).

Наиболее сложен для расчета вариант, когда к < s , а j > s - к . В этом случае новый индекс к j > s и первые 77?, = s - к заявок при постоянной интенсивности потока XR прибывают за время, подчиненное распределению Эрланга порядка 777. После этого происходит выборка 77 = к + j - S элементов из R, оставшихся. Для упрощения обозначений введем вспомогательные коэффициенты

Выборочное подвыражение можно записать в форме

Теперь внутренний интеграл из формулы (9.8.6) преобразуется в

n-l-X[R-{n-i)r]j

i-0 П

При г < 77 его можно свести к

2 = У j<r --(-ir--e( -->rfr

((-1)

Выполним подстановку Х{п - г)г = и . Согласно формуле (567.9) из [И], интеграл можно записать в виде

\{n-i)t

h =

п - г)] - J