Решая это уравнение относительно pi , можно найти первую границу между интервалами постоянства оптимального запаса. Далее запас увеличивается на единицу и находится граница следующего интервала и т.д. - до Smax - 1 Правой границей последнего интервала служит р - Ь . Теперь нетрудно сформировать массивы />[0 : т] точек деления, р[\ : т] вероятностей р G [pi-i,pi] и оптимальных запасов .s*[l : т] . Усредненное по интервалу значение ожидаемых затрат

Li(s)=i / L{s,p) f{p)dp = hs+-- / (p{s,p)dp.

J Pi - pii J

Pt-i Pt~i

(9.9.4)

Придавая переменной s значения оптимальных запасов для различных интервалов, можно сформировать матрицу затрат L - {L,(5j)} . Теперь можно получить вектор ожидаемых затрат

R=LxP (9.9.5)

и по номеру его минимальной компоненты выбрать оптимальный запас.

Другим критерием может служить минимум ожидаемого риска. Вычитая из элементов каждой строки матрицы L диагональные, получаем матрицу ожидаемого риска и по номеру минимальной компоненты вектора ожидаемого риска выбираем наименее рискованное значение запаса. Нетрудно показать, что этот выбор, вообще говоря, не совпадает с выбором по минимуму затрат. В самом деле, г-я составляющая вектора ожидаемого риска

т т т т

= Е = E(i - ) = Е i -LiiPj = r,- Ui,

j=i j=i i=i j=i

где r, - одноименная компонента вектора ожидаемых затрат. Поскольку разность между Г{ и зависит от г, положения минимальных компонент могут не совпадать. Очевидная монотонность возрастания Ьц по i позволяет указать и направление возможного смещения: выбор по минимуму риска всегда приводит к большим или равным запасам, чем выбор по минимуму затрат.

Перейдем к выбору расчетных соотношений для основных типов исследуемых моделей.

9.9.1. Однолинейная система со штрафом по вероятности дефицита

Воспользовавшись формулами разд. 9.2, для названного случая имеем

Li(s) = hs-{-- / р dp = hs-\-

Pi - Pi-i J

(s + 2)(pi-pii)

Приращение вероятности дефицита

. (9.9.6)

(9.9.7)

ЧТО позволяет переписать уравнение для граничного коэффициента загрузки в форме h - dp{l - />) = О и искать его решение по итерационной формуле

11/(+1)

В качестве начального значения может использоваться ранее найденная левая граница того же интервала (она же - правая граница предыдущего).

9.9.2. Однолинейная система со штрафом по ожидаемому дефициту

В данном случае

Li{s) = hs+- /--dp.

Pi - Pi-i J I- P p,-i

p- + l -1 + 1

o+i - 1

1-p 1-P 1-P P-1 1-P

Интегрируя это выражение почленно, получаем

Li{s) = hs +

Pi - Pi-i

Mi-p) + Et

fe=l

p.-l

fc=0

(9.9.9)

При штрафе по ожидаемому дефициту используется уравнение

. dpn

Отметим, что в выражение для рп (см. систему (3.12.2)) входит искомый параметр р . Это определяет итерационный характер нахождения граничного значения для обоих вариантов исчисления штрафов.

9.9.4. Пример

Рассмотрим реализацию методики применительно к однолинейной системе восстановления со штрафом, пропорциональным вероятности дефицита. Пусть р G [0.3,0.7], цена хранения составляет /1=10 руб., d=7000 руб. Применение (9.2.9) позволило установить, что Stnin = 5 , а 5тах = 14 штукам. В соответствии с этим диапазон значений коэффициента загрузки оказался разбит на 10 интервалов. С помощью (9.9.8) установлены границы интервалов: 0.3000, 0.3617, 0.4245, 0.4783. 0.5245, 0.5644, 0.5990. 0.6292. 0.6558, 0.6793. 0.7000. По формуле (9.9.6) была построена матрица затрат {Li{sj)} , общий элемент

Приращение вероятности дефицита

Аф) = -р,\ (9.9.10)

граничный коэффициент загрузки здесь выражается явно:

р={Ь./с1.у+\ (9.9.11)

9.9.3. Многоканальные марковские системы

Для таких систем ожидаемые затраты при р G [pi-i,Pi] в связи со сложной зависимостью рп от р находятся численным интегрированием.

На основании формулы (9.3.1) границы интервала разбиения при штрафе по вероятности дефицита определяются из уравнения

/г-с/рп/+1- = 0,