Прирост S&P 500 на следующий год

Ниже Выше среднего среднего

Изменение доходности казначейских векселей

Ниже среднего

Выше среднего jq g

Более точная оценка взаимосвязи

Если использовать только информацию о том, превысило или нет данное значение среднее для этой переменной, теряется много информации. Можно использовать более точную меру корреляции, которая учитывает не только знак, но и величины отклонения от средних. Наиболее популярным методом измерения связи двух переменных является коэффициент корреляции.

Этот коэффициент вычисляется при помощи расчета ко-вариации (совместной вариации) двух переменных. Вот его формула:

, COVyx

Гух-

SySx

где Гух - коэффициент корреляции, а S - стандартные отклонения. Ковариация между Y и X определяется по следующей формуле:

Таблица 8.1. Таблица 2x2 изменения доходности казначейских векселей в данном году и прироста S&P 500 на следующий год

covyx=iXi:iX)№z20

где Y и X - средние значения переменных Y и X. Таким

образом, мы вьлисляем феднюю величину произведения отклонений индивидуальных значений этих переменных от их средних значений. Если значение одной переменной из пары значений выше ее феднего, а другой - ниже, то их произведение при подсчете ковариации вычитается из обгцего итога. Размер выборки обозначен буквой п в знаменателе формулы, а единица вычитается из него для коррекции количества степеней свободы. В нашем примере зависимая переменная У - это процентное изменение индекса S&P 500 в следующем году, а переменная X - изменение ставок казначейских векселей в текущем году.

Вот последовательность расчета ковариации двух перемен-ньгх:

1. Подсчитайте среднее для всех значений переменной X, а потом сделайте то же для переменной Y.

2. Вычтите среднее из каждого индивидуального значения.

3. Перемножьте каждую пару отклонений от среднего (вариации) и сосчитайте их среднее значение.

В табл. 8.2 показан этот расчет для процентных ставок и доходности S&P 500 за последние 10 лет.

Таким образом, ковариация между Y и X равна 14,86, деленным на 10 лет минус 1, или на 9 (девять степеней свободы).

COVyx- = l,65%

Для того чтобы рассчитать на основе этого значения ковариации коэффициент корреляции, посчитайте стандартные отклонения Y и X. Для этого нужно возвести в квадрат отклонения от среднего для каждой переменной и затем сложить результаты (табл. 8.3).

Таблица 8.2. Ковариация