находиться в следующей взаимосвязи - иначе существовал бы денежный станок и рынки капиталов не могли бы пребывать в равновесии .

Как таблицы

приведенных

стоимостей

помогают

леитяю

НВ принципе процентные ставки могут быть различными для каждого из будущих периодов. Связь между процентной ставкой и временем поступления денежных средств называется временной структурой процентных ставок. Мы рассмотрим временную структуру процентных ставок в главе 23. Но сейчас, чтобы обойти проблему, мы схитрим и допустим, что временная структура единообразна - т. е. процентная ставка остается одной и той же, вне зависимости от периода, в котором возникает поток денежных средств. Это означает, что мы можем заменить ряд процентных ставок г г2, г, и т. д. одной ставкой г и записать формулу приведенной стоимости следующим образом:

PV =

+ ...

Таким образом, все наши примеры можно легко просчитать вручную. В реальности задачи бывают гораздо более сложными и для расчета приведенной стоимости требуют использования электронно-вычислительной техники, специальных программ или таблиц. Мы приведем пример посложнее, чтобы показать, как пользоваться такими таблицами.

У вас появились плохие новости относительно вашего предприятия со строительством офисного здания (этот пример описан в начале второй главы). Подрядчик говорит, что строительство здания займет не один, а два года, и требует оплаты в следующем порядке:

1. 100 ООО дол. оплатить сразу (Отметим, что земля стоимостью 50 ООО дол. здесь также должна учитываться.)

2. 100 ООО дол. оплатить через год.

3. Последний платеж 100 ООО дол. - в конце второго года, когда здание будет готово к эксплуатации.

Ваш консультант по вопросам недвижимости придерживается мнения, что, несмотря на продление сроков строительства, законченное здание будет стоить 400 ООО дол.

Это влечет за собой новый прогноз потоков денежных средств:

Если процентная ставка равна 7%, тогда чистая приведенная стоимость:

NPV = C +

, +- = -150000-1 + г, {1 + г,У

100000 300000 1.07 [1,07)

В таблице 3-1 показано, как сделаны вычисления и как получена чистая приведенная стоимость. Коэффициент дисконтирования можно найти в Приложении в конце книги, в таблице 1. Посмотрите на первые два значения в столбце, обозначенном 7%: первое значение равно 0,935, второе - 0,873. Вам не нужно вычислять 1/1,07 или 1/(1,07) Вы должны просто подставить цифры из таблицы приведенной стоимости. (Отметим, что другие значения в столбце, обозначенном 7%, представляют коэффициенты дисконтирования в пределах 30 лет, а в других столбцах представлены коэффициенты дисконтирования от 1 до 30%.)

{1,07У

Итого чистая приведенная стоимость = 18 400 дол.

К счастью, новости относительно вашего предприятия со строительством офисного здания оказались не такими уж и плохими. Подрядчик согласен на задержку оплаты; это значит, что приведенная стоимость оплаты работы подрядчика будет меньше, чем предполагалось ранее. Это частично компенсирует задержку в получении выручки. Как показано в таблице 3-1, чистая приведенная стоимость равна 18 400 дол., что незначительно отличается от суммы 23 800 дол., вычисленной в главе 2. Поскольку чистая приведенная стоимость положительна, вам следует приступать к строительству

3-2. ЗНАКОМСТВО С БЕССРОЧНОЙ РЕНТОЙ И АННУИТЕТОМ

Иногда можно использовать более короткие пути, позволяющие легко вычислить приведенную стоимость активов, которые приносят доход в различные периоды. Давайте рассмотрим несколько примеров.

Среди ценных бумаг, выпускаемых британским правительством, есть так называемые бессрочные ренты. Это облигации, по которым правительство не берет обязательства погашения, но предлагает ежегодный фиксированный доход в течение неограниченного периода. Норма доходности таких ценных бумаг равна обещанным годовым выплатам, деленным на приведенную сто-

имость*:

, Поток денежных средств

Доходность =---

Приведенная стоимость

г = -

Вы можете проверить это, выписав формулу приведенной стоимости:

1 + г (1 + г/ (1 + г) Обозначив С/{ 1 +г) = а и 1/{ 1 +г) = х, получаем:

PVa(l+x+:+...). (1)

Умножаем обе части на л; и получаем:

PVx=a(x+: +...). (2)

Вычитаем уравнение (2) из уравнения (1) и получаем:

PV(l-x)==a. Далее подставляем значения амх:

С

1 + 1

1 + г

Умножаем обе части на {1 + г), это дает: С

ТАБЛИЦА 3-1

Вычисление приведенной стоимости

Период Коэффициент Поток Приведенная

дисконтирования денежных средств стоимость

0 J 1,0 -150 000 -150 000

1 Y= 0,935 -100 000 -93 500

7=0,873 +300 000 +261 900

Очевидно, что мы можем повторить эти вычисления и найти приведенную стоимость бессрочной ренты при ставке дисконта г и денежных выплатах С. Например, предположим, что некий достопочтенный человек желает обеспечить постоянным доходом кафедру финансов в школе бизнеса. Если процентная ставка равна 10% и если меценат намерен передавать кафедре по 100 ООО дол. в год в течение неограниченного срока, сумма, которая сегодня должна быть отложена для этой цели, равна:

С 100000

Приведенная стоимость бессрочной ренты = -= =1 ООО ООО дол.

Как оценить возрастающую бессрочную ренту

Предположим, что наш меценат неожиданно вспомнил, что он не принял во внимание рост заработной платы, который, возможно, составит в среднем 4% в год. Следовательно, вместо 100 ООО дол. ежегодно в течение неопределенного срока меценат должен передать 100 ООО дол. в первый год, 1,04 х 100 ООО во второй год и т. д. Если мы обозначим темп роста зарплаты через g, мы можем записать приведенную стоимость потоков денежных средств следующим образом:

ру= Q Q Q С, , C,(l+g) , Q(l+g/ , 1+r (l+rf (l+rf - 1 + r a+r/ (1+гУ -

к счастью, существует простая формула для суммирования этой геометрической прогрессии. Если мы предположим, что г больше g, наши громоздкие вычисления упрощаются до:

Приведенная стоимость возрастающей бессрочной ренты = fdrg-

Следовательно, если наш меценат желает ежегодно в течение неофаниченно-го времени предоставлять кафедре денежную сумму, которая предусматривает темп роста зарплаты, то сегодня он должен отложить сумму:

ру С, 100000 r-g 0,10-0,04

= 1666 667 дол.

Как оценить Аннуитет представляет собой актив, который приносит фиксированный до-аннуитет ход ежегодно в течение определенного ряда лет. Закладная на дом с равномерными выплатами и договор о потребительском кредите, выплачиваемом равными долями в течение оговоренного срока, являются общеизвестными примерами аннуитета.

На рисунке 3-1 проиллюстрирован способ оценки аннуитета. В первом ряду представлена бессрочная рента, которая дает ежегодно поток денежных средств С начиная с года 1. Ее приведенная стоимость равна:

PV = . г

Нам необходимо вычислить сумму бесконечной геометрической прогрессии PV= д(1 +д: +д: +...), где а = С/(1 + г), а jc = (1 +g)/(\ + г). В сноске 4 мы показали, что сумма такой профессии равна - jc). Подставим а и jc в формулу и найдем, что