Бессрочная рента (выплаты в году t+ 1)

(су г

(1 + г)

(1 + г)

Аннуитет в виде регулярных платежей в период с года 1 по год / равен разнице между двумя бессрочными рентами.

Во втором ряду представлен второй вид бессрочной ренты, которая дает ежегодно поток денежных средств С начиная с года / + 1. Ее приведенная стоимость в год / будет равна С/г, и, следовательно, ее приведенная стоимость сегодня равна:

il + r)

Обе бессрочные ренты обеспечивают поток денежных средств начиная с года / + 1. Единственное различие между ними состоит в том, что первая, кроме того, ежегодно дает приток денежных средств в период с года 1 по год /. Иначе говоря, разница между двумя бессрочными рентами представляет собой аннуитет Сза /лет Приведенная стоимость этого аннуитета, следовательно, равна разнице между стоимостями двух бессрочных рент.

Приведенная стоимость аннуитета = С

г{1+г)

Выражение в квадратных скобках - это коэффициент аннуитета, который представляет собой приведенную стоимость со ставкой дисконтирования ган-нуитета в 1 доллар, выплачиваемого в конце каждого периода /.

(1) (2)

Мы снова можем вывести это, используя те же принципы. Нам необходимо вычислить сумму бесконечной геометрической прогрессии:

PV=a(l+x+x+... +)!-), где в = С/( 1 +г)кх=\/(\ + г). Умножаем обе части нах:

РУх=а(х+х + ... Вычитаем уравнение (2) из уравнения (1) и получаем:

PV(]-x) = a(l+xf). Далее подставляем а и х:

(l-J-) -

1 + г (1 + гГ

Умножаем обе части на (1 +/ ) и в результате преобразования получаем:

РУ = С

г(1+г1

PV=100000

0,10 0,10(1,10f

= 100 ООО X 8,514 = 851400дол.

Или же мы можем просто посмотреть ответ в таблице аннуитетов в Приложении в конце книги (таблица 3). Эта таблица дает значения приведенной стоимости доллара, который должен быть получен в любой из периодов /. В нашем примере t=20, а процентная ставка г = 0,10, и поэтому мы смотрим на двадцатое по счету число в столбце, обозначенном 10%. Оно равно 8,514. Умножаем 8,514 на 100 ООО дол. и получаем ответ 851 400 дол.

Вам всегда следует предельно внимательно отслеживать те случаи, когда вы могли бы прибегнуть к этим формулам, чтобы облегчить себе жизнь. Например, нам иногда требуется вычислить, сколько годовых платежей, принося-ших фиксированный годовой процент, может накопиться к концу f периодов. В этом случае легче всего вычислить приведенную стоимость и затем умножить ее на (1 + г), чтобы определить будушую стоимость. Теперь предположим, что наш меценат желает знать, сколько может принести богатство в размере 100 ООО дол., если каждый год инвестировать его, вместо того чтобы отдавать недостойным ученым. Ответ может быть таким:

Будущая стоимость = PVxl, = 8514006,727= 5,73млн дол.

Как мы узнали, что 1,10° равно 6,727? Очень легко, мы просто заглянули в таблицу 2 Приложения в конце книги Будущая стоимость 1 доллара через лет .

3-3. СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ и ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ

Существует большая разница между простым процентом и сложным процентом. Когда деньги инвестируются с начислением сложного процента, процентные выплаты реинвестируются с целью получить еще больший процентный доход в последующие периоды. В отличие от этого инвестиции, по которым выплачивается только простой процент, не дают возможности получить процент на процент.

В таблице 3-2 сравниваются приросты инвестиций в размере 100 дол. при начислении сложного и простого процентов. Отметим, что в последнем случае процент выплачивается только с первоначальных инвестиций в размере 100 дол. Следовательно, ваше богатство увеличивается только на 10% в год. В случае начисления сложного процента вы получаете 10% по вашим первоначальным инвестициям в первый год и в конце первого года имеете 100 х 1,10= = 110 дол. Затем во второй год вы получаете 10% от этих 110 дол., которые в конце второго года дадут 100 х 1,10= 121 дол.

Таблица 3-2 показывает, что разница между простым и сложным процентом равна нулю в первом инвестиционном периоде, незначительна во втором, но

Например, предположим, что вы получаете приток денежных средств С на 6-м году Если вы инвестируете этот поток денежных средств по процентной ставке г, к 10-му году ваши инвестиции будут стоить 0(1 + г)*. Вы получите тот же ответ, если вычислите приведенную стоимость потока денежных средств РК= С/( 1 + г) и затем определите, сколько вы можете иметь к 10-му году, если инвестируете эту сумму сегодня:

Будущая стоимость = PV{1+ г) = (1+ г) = С(7+ гУ.

Предположим, например, что наш меценат начал колебаться и желает знать, во сколько ему обойдется ежегодная выплата кафедре по 100 ООО дол. в течение только 20 лет. По нашей формуле мы получаем следуюший ответ:

ТАБЛИЦА 3-2

Стоимость инвестиций в размере 100 дол. при начисилении простого и сложного процентов по ставке 10%.

ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТ

СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ

весьма велика для двадцатилетнего периода и более. Сумма 100 дол., инвестированная во время Американской революции, на которую начислялся бы сложный процент, равный 10% в год, сегодня могла бы стоить 49 млрд дол. И вам не хотелось бы, чтобы ваши предки оказались более предусмотрительными?

По двум верхним кривым на рисунке 3-2 можно сравнить результаты инвестирования 100 дол. с начислением простого и сложного процентов по ставке, равной 10. Кажется, что темпы роста при простом проценте остаются постоянными, а при сложном проценте ускоряются. Однако это - оптический обман. Мы знаем, что при сложном проценте наше богатство растет в постоянном темпе, равном 10%. Рисунок 3-3 дает об этом более четкое представление.

38,55

Рост на базе

10 11

Рост на базе

СЛОЖНОГО

процента (10%)

Рост на базе простого процента (10%)

. Будущие периоды, годы

РИСУНОК 3-2

Сложный процент в сравнении с простым процентом. Две верхние возрастающие кривые показывают прирост стоимости 100 дол., инвестированных с начислением простого и сложного процентов. Чем на более длительный срок инвестируются средства, тем более очевидны преимущества сложного процента. Нижняя линия показывает: чтобы получить 100 дол. через 10 лет, сейчас нужно инвестировать 38,55 дол. И наоборот, приведенная стоимость 100 дол., которые должны быть получены через 10 лет, равна 38,55 дол.