Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Приведенная стоимость 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [ 15 ] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355

Доллфы, логарифмическая шкала

400 I-


Ростнабазе сложного процента (10%)

Рост на базе простого процента (10%)

j Будущие периоды, годы

10 И

РИСУНОК 3-3

Та же ситуация, что и на рисунке 3-2, за исключением того, что вертикальная ось логарифмическая. Постоянные сложные темпы роста дают прямую возрастающую линию. Этот фафик наглядно показывает, что темпы роста стоимости инвестиций, на которые начисляется простой процент, со временем фактически снижаются.

Финансовые проблемы в основном связаны со сложным процентом, нежели с простым, и поэтому специалисты в этой области всегда считают, что вы имеете в виду сложный процент, если иное не оговорено специально. Дисконтирование представляет собой использование сложного процента. Некоторые люди интуитивно предпочитают заменить вопрос Какова приведенная стоимость 100 дол., которые будут получены через Шлет, если альтернативные издержки равны 10%? на вопрос Сколько я должен инвестировать сегодня, чтобы получить 100 дол. через 10 лет при процентной ставке, равной 10? . Ответ на первый вопрос:

PV=- = 38,55 дол. (1,10)

И ответ на второй вопрос:

Инвестиции х (1,10) = 100,

Инвестиции =

100 (1,10)

= 38,55 дол.

*3амечание об

интервалах

начисления

сложного

процента

Нижние линии на рисунках 3-2 и 3-3 показывают рост первоначальных инвестиций в размере 38,55 дол. до их конечной стоимости 100 дол. Дисконтирование можно представить как движение назад вдоль нижней линии от стоимости в будущем до стоимости в настоящее время.

До настоящего момента мы подразумевали, что все потоки денежных средств приходятся на конец года. Иногда такое случается. Например, во Франции и Германии большинство корпораций выплачивают проценты по своим облигациям раз в год. Однако в США и Великобритании большинство корпораций выплачивают проценты раз в полгода. В этих странах инвесторы могут получать дополнительные проценты за 6 месяцев по первым выплатам, так



что 100 дол. инвестиций в облигации, по которым выплачивается 10% годовых с начислением процентов два раза в год, могут составить 105 дол. через 6 месяцев, а к концу года 1,052 х 100= 110,25 дол. Иначе говоря, 10% с начислением два раза в год эквивалентны начислению 10,25% за год. В более общем виде 1 дол. инвестиций с годовой ставкой г, начисляемой т раз за год, составит к концу года [1 + (г/т)]дол., и эквивалентная годовая ставка сложного процента равна [1 + (г/т)] - 1.

Сберегательные и кредитные компании учитывают привлекательность для инвесторов более частых выплг(т Процентная ставка по их депозитам традиционно объявлялась как годовая ставка сложного процента. Правительство обычно оговаривает максимальную годовую ставку процента, но не указывает период, за который начисляются проценты. Когда верхние значения процентной ставки начинают ограничиваться, сберегательные и кредитные компании переходят постепенно к полугодовым, а затем и помесячным начислениям процента. Это эквивалентно росту годовой ставки сложного процента сначала до [1 +г/2р - 1 , а затем до [1 +г/12] - 1.

В конце концов одна компания объявила о непрерывно начисляемом сложном проценте, так что выплаты производились равномерно и непрерывно в течение года. Применительно к нащей формуле это означает, что т стремится к бесконечности*. Может показаться, что это означает офомный объем вычислений для нащих сберегательных и кредитных компаний. К счастью, кто-то еще помнил курс алгебры средней щколы и заметил, что если т стремится к бесконечности, то выражение [1 + (г/т)] приближенно равно (2,718). Число 2,718, или, как его обозначают, е - это основание натурального логарифма.

Сумма в 1 дол., инвестируемая по ставке непрерывно начисляемого процента г, следовательно, вырастет до е = (2,718) к концу первого года. К концу t лет она вырастет до е = (2,718) . В таблице 4 Приложения в конце книги представлены значения е . Давайте используем их в практических примерах.

Пример 1. Предположим, что вы инвестируете 1 дол. по годовой ставке с непрерывным начислением, равной 10% (г=0,10), на один год (/= 1). Стоимость в конце года просто равна е , что, как видно из второй строки таблицы 4 Приложения, составляет 1,105 дол. Говоря другими словами, инвестирование под 10% годовых с непрерывным начислением сложного процента в течение года равнозначно инвестированию с годовым начислением 10,5%.

Пример 2. Теперь предположим, что вы инвестируете 1 дол. по ставке 11% с непрерывным начислением сложного процента (г = 0,11) в течение одного года (/= 1). Следовательно, стоимость инвестиций на конец года составляет е , что, как видно из второй строки таблицы 4 Приложения, равно 1,116 дол. Иначе говоря, инвестирование по годовой ставке 11 % с непрерывным начислением сложного процента равнозначно инвестированию с начислением сложного процента по ставке 11,6% один раз в год.

Пример 3. И наконец, допустим, что вы инвестируете 1 дол. по годовой ставке 11% с непрерывным начислением сложного процента (г = 0,11) на два года (/=2). Конечная стоимость инвестиций будет е =е . Из третьей строки таблицы 4 Приложения видно, что е равно 1,246 дол.

Когда мы говорим о непрерывных выплатах, мы предполагаем, что деньги образуют постоянный поток, подобно воде, льющейся из водопроводного крана. На самом деле такого быть не может Например, вместо выплаты 10 ООО дол. каждый год наш меценат может выплачивать по 100 дол. каждые 8 и зДчаса, или по 1 дол. каждые 5 и Дминуты, или по 1 центу каждые 3 и lA секунды, но он не может делать это непрерывно. Финансовые менеджеры делают вид, что начисление процентных выплат происходит непрерывно, а не раз в час, день или неделю, потому что, во-первых, это упрощает расчеты и, во-вторых, это дает очень точное приближение к чистой приведенной стоимости частых выплат.



PV=C

г г е

= 100 000

0,0953 0,0953 6,727 =100 ОООх 8,932= 893 200дол.

Мы можем произвести эти вычисления более коротким способом, используя данные таблицы 5 Приложения. Из нее мы видим, что если годовой доход возрастает исходя из 10% годовых с начислением по методу сложного процента, тогда инвестирование 1 дол. в год через 20 лет будет стоить 8,932 дол.

Если вы вернетесь к нашему предыдущему обсуждению аннуитета, вы заметите, что приведенная стоимость 100 ООО дол., выплачиваемых в конце каждого года в течение 20 лет, равна 851 406 дол. Следовательно, нашему филантропу обеспечение постоянного потока выплат обойдется дороже на 41 800 дол., или на 5%.

Следует помнить, что аннуитет представляет собой просто разницу между бессрочной рентой, получаемой сегодня, и бессрочной рентой, которая будет получена в году t. Стоимость постоянного годового потока денег С по бессрочной ренте равна С/г, где г- ставка сложного процента с непрерывным начислением. Таким образом, стоимость нашего аннуитета составит:

PV= - -приведенная стоимость величины -, полученной в году t. г г

Поскольку г - это ставка сложного процента с непрерывным начислением, сегодняшняя стоимость С/г, полученных в году t, равна С/г х Тогда наша формула приобретает следующий вид:

С С I г г €

или иногда ее записывают так:

Принцип непрерывного начисления сложного процента имеет особое значение при планировании долгосрочных вложений, когда более обоснованно считать, что поток денежных средств поступает равномерно в течение года, а не в конце года. Чтобы понять это, можно использовать наши предыдушие формулы. Например, предположим, мы хотим вычислить приведенную стоимость бессрочной ренты в размере Сдол. в год. Мы уже знаем, что если платеж осушествляется в конце года, мы делим его величину на годфвую ставку сложного процента г, начисляемого один раз в год:

Если те же выплаты осушествляются равномерно в течение года, мы используем ту же формулу, но подставляем ставку непрерывно начисляемого сложного процента.

Для любых других непрерывных выплат мы можем использовать нашу формулу оценки аннуитета. Например, предположим, что наш филантроп обдумал все более серьезно и решил построить дом для престарелых ослов, который обойдется в 100 ООО дол. в год, если строительство начнется немедленно и расходы будут осушествляться равномерно в течение 20 лет. Ранее мы использовали годовую ставку 10% с начислением сложного процента один раз в год; теперь мы должны применять годовую ставку с непрерывным начислением сложного процента г= 9,53% (е = 1,10). Чтобы покрыть эти расходы, наш филантроп должен иметь в наличии следующую сумму:



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [ 15 ] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355