3-4. РЕЗЮМЕ

При расчете приведенной стоимости наибольшую трудность вызывает правильная постановка задачи. Если вы это сделали, вы сможете провести расчеты, и они уже не будут представлять сложности. Теперь, когда вы проработали эту главу, вам требуется немного практического опыта.

Основная формула приведенной стоимости актива, который приносит доход в течение нескольких периодов, очевидно, является расширением нашей формулы для одного периода:

PV=-+ ,+ ... 1+г, (1+rJ

Вы всегда можете использовать эту формулу, чтобы определить приведенную стоимость; но когда процентная ставка не меняется в течение всех периодов, можно использовать некоторые упрошенные методы вычислений. Мы рассмотрели три таких случая. Первый, когда активы приносят С долларов в год неограниченный период времени. Их приведенная стоимость просто равна:

Второй касается активов, платежи по которым возрастают с постоянным темпом g неограниченный период времени. В этом случае приведенная стоимость равна:

Третий случай - аннуитет с выплатами С долларов в год в течение / лет Чтобы определить приведенную стоимость аннуитета, мы вычисляли разницу между стоимостями двух бессрочных рент:

г г{1 + г)

Далее мы показали, что дисконтирование производится на основе сложного процента. Это означает определение суммы, которую мы должны сегодня инвестировать при условии начисления на инвестиции сложного процента г, чтобы получить потоки денежных средств С и т. д. Когда кто-нибудь предлагает нам заем по годовой ставке г , всегда следует проверить, как часто будет начисляться процент. Если период, за который начисляется процент, равен году, мы должны будем выплатить (1 + а*)дол.; с другой стороны, если начисление происходит постоянно, мы должны будем выплатить 2,718 (или, как это обычно обозначается, е ) дол. Очень часто при планировании долгосрочных инвестиций нам удобнее предположить, что потоки денежных средств приходятся на конец каждого года, и, следовательно, мы дисконтируем их по годовой ставке сложного процента. Однако иногда более верным было бы допушение, что

Часто при финансовых расчетах нам необходимо знать только приблизительное значение приведенной стоимости. Погрешность в 5% при оценке приведенной стоимости вполне допустима. В этом случае обычно не имеет значения, полагаем ли мы, что поток денежных средств идет постоянно или же возникает в конце года. Однако в других случаях точность расчета важна, и тогда нам действительно необходимо точно знать частоту возникновения потоков денежных средств.

средства поступают равномерно в течение года; в этом случае мы долхсны использовать принцип непрерывного начисления.

Таблицы для расчета приведенной стоимости облегчают нам многие из этих вычислений. Вы уже познакомились с таблицами, которые показывают:

1. приведенную стоимость 1 дол., получаемого в конце года Г,

2. будущую стоимость 1 дол. к концу года Г;

3. приведенную стоимость 1 дол., получаемого в конце каждого года до года /;

4. будущую стоимость 1 дол., инвестируемого при непрерывном начислении сложного процента;

5. приведенную стоимость 1 дол., получаемого непрерывно в течение глет при годовой ставке сложного процента, равной г.

В этой главе мы выдвинули две важные идеи, к которым мы опять вернемся через некоторое время. Первая состоит в том, что приведенные стоимости можно складывать: если ваша формула для приведенной стоимости суммы А + Б дает иной результат, чем формула суммы приведенной стоимости А и приведенной стоимости Б,- значит, вы сделали ошибку Вторая идея заключается в том, что не существует такого явления, как денежный станок . Если вам покажется, что вы его обнаружили, вернитесь обратно и проверьте ваши вычисления.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

В материале данной главы есть все, что вам нужно знать о математических методах дисконтирования; но если вы хотите более глубоко изучить предмет, то по данной теме имеется ряд книг.

Так, например:

R. Cissell, Н. Cissell, and С. Flaspohler. The Mathematics of Finance, 6th. ed. Houghton Mifflin Company, Boston, 1982.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. При процентной ставке, равной 12, коэффициент дисконтирования для года 6 равен 0,507. Сколько будут стоить 0,507 дол. в 6-м году, если они инвестируются под 12%?

2. Если приведенная стоимость 139 дол. равна 125 дол., каков коэффициент дисконтирования?

3. Если коэффициент дисконтирования для года 8 равен 0,285, какова приведенная стоимость 596 дол., полученных в 8-м году?

4. Если альтернативные издержки составляют 9%, какова приведенная стоимость 374 дол., полученных на 9-м году?

5. Проект дает следующие потоки денежных средств:

Если издержки равны 15%, какова приведенная стоимость проекта?

6. Если вы инвестируете 100 дол. по ставке 15%, сколько вы будете иметь к концу 8-го года?

7. Инвестирование 232 дол. даст 312,18 дол. в году 2. Какова годовая ставка процента?

8. Стоимость инвестиций, которые дают доход, равный 138 дол., неограниченный период времени, составляет 1548 дол. При ставке, равной 9%, какова их чистая приведенная стоимость?

9. Тепловая изоляция вашего дома стоит 2590 дол. Экономия на топливе в следующем году составит 220 дол. Если процентная ставка равна 12%, каким должен быть относительный рост цен на топливо, чтобы оправдать утепление? Допустим, что темп роста цен на топливо постоянен и равен g.

10. В следующем году по обыкновенной акции будет выплачиваться дивиденд, равный 4 дол. Далее ожидается, что дивиденд будет постоянно расти на 4% в год. Если ставка дисконта равна 14%, какова приведенная стоимость потока дивидендных выплат?

П. Если вы инвестируете 502 дол. в конце каждого года в течение следующих 9 лет по ставке 13%, сколько вы будете иметь в конце этого периода?

12. Гаролду Филберту 30 лет, и его заработок в следующем году составит 20 ООО дол. Гаролд предполагает, что его заработок будет постоянно расти с темпом 5% в год до достижения им пенсионного возраста в 60 лет

а) Если ставка дисконтирования равна 8%, какова приведенная стоимость будущих заработков?

б) Если Гаролд будет каждый год экономить 5% своего заработка и инвестировать их по ставке 8%, какие он сделает сбережения к 60 годам?

в) Если Гаролд планирует тратить эти сбережения равномерно в течение следующих 20 лет, сколько он может тратить ежегодно?

13. Фабрика стоит 400 ООО дол. Вы рассчитали, что она принесет за вычетом операционных расходов 100 ООО дол. в год I, 200 ООО дол. в год 2 и 300 ООО дол. в год 3. Альтернативные издержки - 12%. Постройте схему, подобную изображенной на рисунке 3-1, и используйте таблицы для расчета чистой приведенной стоимости.

14. Для ответа на данные вопросы не пользуйтесь таблицами. Процентная ставка равна 10.

а) Какова приведенная стоимость актива, который приносит 1 дол. дохода в год неограниченный период времени?

б) Стоимость актива, которая растет на 10% в год, удваивается примерно за 7 лет. Какова приблизительно приведенная стоимость актива, который приносит I дол. в год неограниченный период времени, начиная с 8-го года?

в) Какова приблизительно приведенная стоимость актива, который приносит I дол. в год в течение следующих 7 лет?

г) Участок земли приносит доход, который растет на 5% в год. Если приток денежных средств первого года равен 10 ООО дол., какова стоимость земли?

1& Используя таблицы Приложения в конце книги, сделайте следующие вычисления.

а) Стоимость нового автомобиля 10 ООО дол. Если процентная ставка равна 5, сколько вы должны сейчас отложить, чтобы собрать эту сумму в течение 5 лет?

б) Вы должны платить за обучение по 12 ООО дол. в конце каждого года в течение следующих 6 лет. Если процентная ставка равна 8, сколько вы должны отложить сегодня, чтобы покрыть эту сумму?

в) Вы инвестировали 60 476 дол. по ставке 8%. Сколько может остаться к концу шестого года после внесения платы за обучение?

*г) Вы заняли 1000 дол. с условием возвратить 1762 дол. в течение 5 лет Какова годовая ставка сложного процента по займу? Какова ставка процента с непрерывным начислением?