Выражение 5s of98 означает, что срок погашения облигации наступает в 1998 г, а выплачиваемый годовой процент составляет 5% от номинальной стоимости облигации. Выплаты процентов называюткуионньшмвыплатами. Инвесторы в облигации сказали бы, что эти облигации имеют купонную ставку 5%. При наступлении срока погашения в 1998 г выплачиваются номинал и процент Цена каждой облигации обозначается в процентном отношении к номинальной стоимости. Поэтому, если бы номинальная стоимость равнялась 1000 дол., вы должны были бы заплатить за облигацию 852,11 дол., и ее доходность составила бы 8,78%. Обозначив 1993 г как /= О, 1994 г как /= 1 и т д., мы проводим следующие вычисления дисконтированных потоков денежных средств:

Хотя обе облигации имеют одинаковый срок погашения, они были выпущены в разное время, 5s - когда процентные ставки были низкими, а 10s - когда процентные ставки были высокими.

Лучше ли купить облигацию 5s of 98 ? Не делает ли рынок ошибку установив цены на эти два выпуска, исходя из разных значений доходности? Единственный способ удостовериться в этом - вычислить приведенную стоимость облигаций, используя ставки спот для 1994 г, гдля 1995 г и т д. Вычисления приведены в таблице 23-2.

Важное допущение в таблице 23-2 состоит в том, что долгосрочные процентные ставки выше краткосрочных. Мы приняли заданное, что процентная ставка 1-го года равна 0,05%, 2-го года - 0,06% и т д. Когда поток денежных средств каждого года дисконтируется по соответствующей году ставке, мы видим, что

ТАБЛИЦА 23-2

Расчет приведенной стоимости двух облигаций, когда долгосрочные процентные ставки выше краткосрочных.

Расчет приведенной стоимости (в дол.)

5s of98 10s of98

в реальной практике купонные выплаты производятся раз в полгода - владельцы 5s of98 получали бы по 25 дол. каждые 6 месяцев. Наши расчеты немного отличаются от того, что мы получили бы, используя таблицы для расчета цен облигаций, подобные таблице 23-1. Кроме того, значения доходности округлены, и поэтому не являются точными.

На дворе 1993 г. Вы намерены инвестировать средства в облигации Казначейства США. Вы просматриваете следующие котировки двух облигаций:

приведенная стоимость каждой облигации в точности равна цене котировки. Таким образом, для каждой облигации установлена справедливая цена.

Почему облигация 5s имеет более высокую доходность? Потому что на каждый доллар, инвестированный в облигацию 5s , вы получаете относительно небольшой приток денег в первые 4 года и относительно большой приток в заключительном году Следовательно, хотя две облигации имеют одну дату погашения, основная часть потока денежных средств по облигации 5s приходится на 1998 г В этом смысле облигация 5s представляет собой более долгосрочные инвестиции, чем 10s . Более высокая доходность к погашению просто отражает тот факт, что долгосрочные процентные ставки выше краткосрочных.

Проблемы, связанные с доходностью к погашению

Учитывая все вышесказанное, мы можем обобщить проблемы, связанные с доходностью к погашению.

Первая. Когда вычисляется доходность к погашению облигации, используется одна и та же ставка для дисконтирования всех платежей, поступающих держателю облигации. На самом деле держатель облигации может потребовать разные нормы доходности (г и т д.) для разных периодов. Если по двум облигациям предлагаются разные схемы потоков денежных средств, они скорее всего будут иметь различные доходности к погашению. Поэтому определить соответствующую доходность одной облигации, исходя из доходности к погашению другой облигации, можно только приблизительно.

Вторая. Цены облигаций не определяются доходностью к погашению. Наоборот: ставки спот г и т. д. определяются одновременно спросом компаний на капитал и предложением сбережений физическими лицами. Эти ставки затем определяют стоимость любого пакета будущих потоков денежных средств. И наконец, зная эту стоимость, мы можем вычислить доходность к погашению. Однако мы не в состоянии определить соответствующую доходность к погашению без предварительного расчета стоимости. Мы, например, не можем предположить, что у двух облигаций с одним сроком погашения должна быть одна и та же доходность, если только они случайно не имеют одинаковую купонную ставку

Доходность к погашению представляет собой сложную среднюю ставок спот . Предположим, что больше г,. Тогда доходность двухгодичной купонной облигации должна находиться между г, и г. В этом случае доходность двухгодичной облигации дает заниженную ставку спот для 2 лет. И конечно, если бы оказалась меньше г то доходность двухгодичной облигации, наоборот, завышала бы ставку спот для 2 лет Иногда эти расхождения весьма значительны. Например, в Великобритании в 1977 г ставка спот для 20 лет (г ) составляла приблизительно 20%. А доходность облигации с высокой купонной ставкой и со сроком погашения через 20 лет составляла примерно 13%. Причина этого состояла в том, что краткосрочные процентные ставки спот были гораздо ниже 20%. Доходность облигации со сроком 20 лет равнялась средней из краткосрочных и долгосрочных ставок .

В главе 5 мы заявили, что одна из проблем, связанных с внутренними нормами доходности, заключается в том, что их нельзя суммировать. Другими словами, даже если вы знаете доходность А и Б, вы не можете определить в целом доходность (А+Б). Вот пример. Предположим, ваш портфель случайным образом поделен между двумя облигациями, цены обеих равны 100. Облигация А является одногодичной облигацией с купонной ставкой 10% и, следовательно, доходностью 10%. Облигация Б - это двухгодичная облигация с купонной ставкой 8%, и, таким образом, ее доходность составляет 8%. Со-

Чтобы лучше проанализировать связь между доходностью к погашению и процентными ставками спот , см.: S.M. Schaefer. The Problem with Redemption Yields Financial Analysts Journal. 33: 59-67. July-August. 1977.

чтя, что доходность вашего портфеля равна 9%, вы совершили бы ошибку. На самом деле доходность составляет 8,68%. Иначе говоря.

200 = 1..

1,0868 1,0868

Таким образом, опасно полагаться на доходность к погашению - подобно большинству средних показателей, она скрывает значительную часть интересной информации.

* Оценка

временнбй

структуры

Если вы просто хотите быстро и приблизительно оценить общую доходность облигации, взгляните на ее доходность к погашению. Но если вы стремитесь понять, почему разные облигации продаются по различным ценам, вам нужно копать глубже и выявить процентные ставки спот . Но как раз этим современные специалисты по облигациям отнюдь себя не утруждают Так что вот он, ваш шанс вырваться вперед.

Вернитесь к таблице 23-2, где показано, как инвесторы оценивают стоимость облигаций со ставкой 5% и сроком погашения в 1998 г За пять лет до погашения каждая облигация подобна пакету из пяти мини-облигаций. В пакет входят одна мини-облигация, по которой выплачивается 50 дол. в году /=1, другая мини-облигация, по которой выплачивается еще 50 дол. в году /=2, и т. д. до пятой мини-облигации, по которой выплачивается 1О50 дол. в году /=5.

Чтобы найти процентные ставки спот , сначала мы определяем цены всех мини-облигаций. Например, в 1993 г вы могли бы приобрести такие пакеты:

1. Инвестировать 1704,22 дол. на покупку двух 5s of98 .

2. Инвестировать 1054,29 дол. на покупку одной 10s of98 .

Каждый пакет за четыре года дает поток денежных средств в размере 100 дол. Но при погашении облигаций в году 5 первый пакет приносит 2 X 1050 = 2100 дол., а второй 1 х 1100 = 1100 дол. Таким образом, единственное преимущество в потоках денежных средств первого пакета возникает в году 5. Покупка первого пакета обходится на 649,93 дол. дороже (1704,22 - 1054,29 = 649,93 дол.), но вы выигрываете 1000 дол. в году 5 (2100- 1100= 1000 дол.).

Инвесторы, должно быть, не отдают предпочтение ни одному из двух пакетов - иначе они игнорировали бы одну облигацию и покупали бы другую, и цены на облигации изменились бы. Таким образом, дополнительные 1000 дол., получаемые в году 5, должны стоить сегодня 649,93 дол.:

PV(1000дол. в году 5) = 649,93 дол.

Но значение приведенной стоимости зависит от ставки спот для 5 лет, г,:

1000

PV =

- = 649,93.

Отсюда мы находим, что равна 0,09, или 9%.

В этом примере мы взяли две облигации с одним сроком погашения -5 лет, но с разными купонными ставками. Это позволило нам найти цену мини-облигации, по которой производятся выплаты только в году 5, и таким образом нашли ставку спот для 5 лет Чтобы установить точные цены на мини-облигации и ставки спот для всех других периодов, нам потребовался бы полный ряд соответствующих облигаций. В практических ситуациях нам никогда так не повезет, но если мы располагаем широким диапазоном купонных