/шлсгсия цця портфеля из двух -акций равна тушений в этих четырех прямоугольниках. . !oiisi нхвесгиций в акции ;; = дисперсия до-

;.;.;цц.>!11л ЯКЦИЙ /; (Т = КОВариЗНТНОСТЬ ДОХОДНОСТЬ яу-т- 1 4j(i\<T,<Tj); р, = корреляция доходнос-

! И ;!КМ4!Й / П /.

акций Georgia Pacific составит 15%, а акций Thermo Electron - 21%. Ожидаемая доходность вашего инвестиционного портфеля представляет собой средневзвешенную ожидаемых значений доходности отдельных акций :

Ожидаемая доходность портфеля = (0,60 х 15) + (0,40 х 21)= 17,4%.

Расчет ожидаемой доходности портфеля - достаточно легкая процедура. Самая тяжелая часть работы - это определить риск портфеля. В прошлом стандартное отклонение доходности составляло для Georgia Pacific примерно 28%, для Thermo Electron примерно 42%. Вы полагаете, что эти цифры по-прежнему служат верным показателем отклонения возможных буо!ум<их: доходов. Скорее всего сначала вы будете склонны допустить, что стандартное отклонение доходности вашего портфеля представляет собой средневзвешенную стандартных отклонений доходности отдельных акций, т. е. (0,60 х 28) + + ( 0,40 X 42) = 33,6%. Это было бы верно, только если цены двух видов акций изменялись бы совершенно одинаково. В любом другом случае риск можно было бы снизить диверсификацией портфеля.

На рисунке 7-6 представлена процедура точного вычисления риска портфеля, состояшего из двух акций. Вам нужно заполнить таблицу из 4 прямоугольников. В верхнем левом прямоугольнике вы взвешиваете дисперсию доходности акции 1 {а]) по квадрату дош инвестиций в акции 1 {х]). Заполняя нижний правый прямоугольник, вы взвешиваете дисперсию доходности акции 2 (сг) по квадрату Aonw. инвестиций в акции 2 {х]).

Элементы прямоугольников, расположенных по этой диагонали, зависят от дисперсий акций 1 и 2, элементы двух других Прямоугольников зависят от их ковариации. Как вы можете предположить, ковариация служит для измерения степени совместной изменчивости двух акций. Ковариация может быть выражена умножением коэффициента корреляции р на два стандартных отклонения :

Ковариация акций 1 = р,2<Р2

Большинство акций имеет тенденцию к одновременному изменению. В этом случае коэффициент корреляции р положителен, следовательно, положителен и коэффициент ковариации сг,. Если различные акции движутся

Давайте это проверим. Предположим, вы инвестируете 60 дол. в акции Georgia Pacific и 40 дол. в акции Thermo Electron. Ожидаемый долларовый доход по вашим акциям Georgia Pacific равен 0,15(60) = 9,00 дол., и по акциям Thermo Electron-0,21(40) = 8,40 дол. Ожидаемый долларовый доход от вашего портфеля составляет 9,00 + + 8,40= 17,40 дол. Яоржа доходности портфеля равна 17,40/100 = 0,174, или 17,4%. Ковариацию можно найти другим способом:

Ковариация акций 1 и 2 = а,2= ожидаемая стоимость (г - rj х (f-r,). Отметим, что ковариация любой ценной бумаги с ней самой равна просто ее дисперсии. (Т = ожидаемая стоимость(г, - г,) х(г,- г,)=

=ожидаемая стоимость (г, - rj = дисперсия акции 1.

совершенно не связанно, тогда коэффициент корреляции и ковариация равны нулю; и если акции изменяются в противоположных направлениях, коэффициент корреляции и ковариация отрицательны. Вы взвешиваете дисперсии умножением на квадрат доли инвестиции, таким же образом вы должны взвесить ковариацию умножением на произведение лвух соответствующих вложений в х, и х.

Когда вы заполните все четыре прямоугольника, вы просто складываете полученные в них величины и находите дисперсию портфеля:

Дисперсия портфеля =х] о] + х/ ст/ + 2(Х/Хр/о,а2)

Стандартное отклонение портфеля равно корню квадратному из дисперсии.

Теперь мы можем попробовать привести некоторые цифровые примеры для Georgia Pacific и Thermo Electron. Ранее мы упоминали, что при совершенной корреляции двух акций значение стандартного отклонения состояшего из них портфеля будет находиться на 40%-ной отметке промежутка между стандартными отклонениями этих акций (или, иными словами, стандартное отклонение портфеля будет превышать меньшее из стандартных отклонений двух акций на 40% от разности между этими стандартными отклонениями)*. Давайте проверим это, заполнив четыре прямоугольника, при условии pi2=+\.

Georgia Pacific

Thermo Electron

Georgia Pacific

Thermo Electron

Дисперсия вашего портфеля акций будет равна сумме полученных значений:

Дисперсия портфеля = [(0,60/х (28/] + [(0,40/х (42/] + + 2(0,60х 0,40х 1 X 28x42)= 1129.

Стандартное отклонение равно Vl 129 =33,6%, или превышает 28 на 40% от разности между 42 и 28.

Акции компаний Georgia Pacific и Thermo Electron изменяются не совершенно одинаково. Если исходить из прошлого опыта, то коэффициент корреляции между двумя акциями составляет примерно 0,4. Если мы проделаем те же вычисления при условии, что р,= + 0,4, то обнаружим:

Дисперсия портфеля =[(0,60/ х(28) + [(0,40/х (42)] + + 2(0,60 х0,40х 0,4 х28х 42) = 790.

Стандартное отклонение равно >/790 = 28,1%. Теперь величина риска отличается от 28 значительно меньше, чем на 40% от разности между 42 и 28,- на самом деле она практически равна риску при условии инвестирования только в акции Georgia Pacific.

Диверсификация имеет больший эффект, когда коэффициент корреляции между акциями отрицателен. К сожалению, такого никогда не происходит с реальными акциями. Но просто в качестве иллюстрации давайте предположим, что взаимосвязь между акциями Georgia Pacific и Thermo Electron носит

* Строго говоря, c7,j- стандартное отклонение портфеля из двух акций - представляет собой выпуклую линейную комбинацию а, и - стандартных отклонений этих акций:

0,2= (1-)0, +12= а, + МО2-0,), где в данном случае Х= 0,4. - Примеч. ред.

РИСУНОК 7-7

Чтобы определить дисперсию портфеля, состоящую из Л акций, необходимо заполнить матричную таблицу, подобную той, что изображена на рисунке. Квадраты, расположенные по диагонали, указывают на значения дисперсии (ха), а недиагональные квадраты - на значения ковариации {XiXjOi

Акции

именно такой характер. Поскольку мы представляем нереальную ситуацию, пойдем еще дальше и допустим, что между акциями существует соверщенно отрицательная корреляция (р = -1). В этом случае:

Дисперсия портфеля = [(0,60) х (28) + [(0,40) х (42) ] + + 2[0,60 х0,40х (- 1)х28х 42] = О

При отрицательной корреляции всегда существует стратегия формирования портфеля (представленная особым набором акций в нем), позволяющая полностью исключить риск . Очень жаль, что в реальности такой соверщенно отрицательной корреляции между обыкновенными акциями не бывает.

*Общая формула для расчета портфельного риска

Метод вычисления портфельного риска может быть легко применен для портфелей из трех и более видов ценных бумаг Просто мы должны заполнить большее количество прямоугольников. Каждый прямоугольник на диагонали - затемненные квадраты на рисунке 7-7 - содержит значение дисперсии, взвешенной по квадрату доли инвестиций в соответствующие ценные бумаги. Остальные квадраты содержат информацию о ковариации между двумя ценными бумагами, взвешенной по произведению соответствующих долей инвестиций*.

*Ограничения Обратили ли вы внимание, глядя на рисунок 7-7, как вырастает значение кона диверсифика- вариации при увеличении количества ценных бумаг в портфеле? Если мы бе-

рем портфель, состоящий из двух видов ценных бумаг, количество квадратов в таблице со значениями дисперсий равно количеству квадратов с ковариа-цией. Если количество разных ценных бумаг больше двух, тогда квадратов с

Поскольку стандартное отклонение по акциям Thermo Electron в 1,5 раза превышает отклонение по акциям Georgia Pacific, чтобы исключить риск для портфеля из двух данных акций, необходимо инвестировать в 1,5 раза больше средств в акции Georgia Pacific.

Формула эквивалентна сложению всех квадратов :

Дисперсия портфел.

1я = XX

Отметим, что когда ; = у , значение просто равно дисперсии акции