попыткам овладеть купг-фу, искусством, которое одновременно является и техникой и образом жизни, совершенствует ваши навыки и делает вас более осведомленным. Так же как кунг-фу, математика многим может казаться непонятной и пугающей. Для того, чтобы в совершенстве знать иностранный язык, и дня того, чтобы овладеть боевыми искусствами, необходимо выучиться, а затем постоянно практиковаться. Две модели, представленные ниже, также основаны на математике, и правильное обращение с ними требует её использования. Здесь, однако, мы попытаемся избавиться от всех ненужных технических деталей и представить только основные концештии, подкрепленные примерами и иллюстрациями.

Стратегия создания моделей в финансах

Основные принципы

Последовательное моделирование финансовых рынков остается открытой и спорной проблемой. Чтобы добраться до сути реальности, необходим простой, экономически вероятный математический подход к моделированию рьшка. И существующие подходы к моделированию финансового рьшка разнообразны, литература по этой тематике многочисленна. Значительный прогресс в понимании финансовых рынков был достигнут, например, Марковицем (Markowitz), вьщвинувшим теорию портфеля со средним отклонением [288], Шарпом (Sharpe), с его моделью оценки основных фондов, Линтнером (Lintner), развившим теорию Шарпа (Sharpe), Мертоном (Merton) [293], Блэком (Black) и Шоулзом (Scholes), с теорией оценки опционов и хеджирования [41], Россом (Ross) с теорией оценки арбитражных операций [353], Коксом (Сох), Ингерзоллем (IngersoU) и Россом (Ross) с теорией процентной ставки [95], и это лишь наиболее значительные вехи в развитии теории финансовьк рьшков.

Экономические модели отличаются от моделей, используемых в естественных науках, поскольку экономические агенты должны предвидеть будущее. Решение каждого зависит от решения других (стратегическая взаимозависимость) и ожиданий будущего. Это можно проиллюстрировать, приведя следующую яркую аналогию [113]. Представьте себе, что в средние века, до Копфника и Галилея, Земля действительно была неподвижна и находилась в центре вселенной, а двигаться начала лишь позже. Вообразите, что в XIX веке, когда все считали классическую физику единственно верной, она действительно бьша вфна, а феномена кванта не существовало. Это не просто философские размьппления, но попытка описать, как выглядела бы физика, если бы она вела себя как финансовые рьшки. Действительно, мир финансов таков, что любое открытие почти немедленно используется для получения вьлоды. По мере распространения открьгота среди трейдфов, вселенная изменяется соответствующим образом. Как заметил Дж. Сорос (G. Soros), ифоки на рьшке подобны актерам, ведомым своими личными нуждами . Э.Денрман, глава отдела количественных стратегий в Goldman Sachs, утверждает, что в физике приходится ифать против Бога, который не очень часто меняет свое мнение. В финансах ифают против творений Божьих, чьи чувства

эфемерны и, в лучшем случае, просто переменчивы, а информация, на которой они основаны, продолжает поступать ежесекундно. Стоимость явно зависит от человека, в то время как вес, электрический зфяд и электромагнетизм - нет. Это приводит к предположению, что для плодотворного изучения экономики и финансов нужно использовать эволюционные модели, к созданию которых ученых подтожнули биология и генетика, и на которые мы ссьшались в главе 4.

Возможно, наиболее вьщаюшцйся синтез физических наук стал результатом осознания того, что все вокруг может быть объяснено при помощи законов сохранения и принхдапов симметрии. Напримф, закон Ньютона, гласящий, что ускорение, то есть коэффициент изменения скорости тела массой т, пропорционально сумме сил, приложенных к телу и разделенных на т, следует из закона сохранения кинетической энфгии в безвоздушном пространстве (закон инерции, связанный с инвариантностью Галилея). Другой пример: основные уравнения движения, так называемых суперструн , сформулированные для описания элементарных частиц, таких как кварки и электроны, следуют из принципов глобальной симметрии и двойственности между описаниями на долгосрочном и на краткофочном масштабе. Существуют ли сходные принципы, которые смогли бы руководить определением уравнений движения для более приземленных финансовых рьшков?

ИТринцип отсутствия арбитражОзовозможюстей

Одним из таких организующих принципов является условие отсутствия арбитражных возможностей, с котфым мы уже столкнулись в главе 2. Вспомните, отсутствие арбитража, также известное как Закон Одной Цены, гласит, что два актива со сходными характфистиками должны продаваться по одной цене, и то же касается этого же актива, продаваемого на двух различных рьшках. Если цены отличны, возникает возможность получить прибьшь от продажи данного актива там, где он продается дороже, и покугаси там, где он продается дешевле. Основная идея состоит в том, что при наличии арбитражной возможности цены не могут оставаться разными долго, или же разшща между ними должна быть незаметна. В противном случае трейдфы стали бы оказывать на них влияние и свели бы эту разницу на нет при помошд арбитража Условие отсутствие арбитража -идеализация последовательного динамического состояния рьшка, являющегося результатом непрерывных действий трейдеров (арбитражфов). Это не старомодная аппроксимация равновесия, так описываемое иногда; скорее это очень тонкая взаимозависимая организация рьшка. Мы принимаем данное условие как первостепенное условие приближения к реальности. Мы увидим, что оно ведет к сильной напряженности структуры модели и позволяет нам делать удивительные предсказания. Идея навязать условие отсутствия арбитража на самом деле является предпосьшкой больпшнства моделей, разработанных в академическом финансовом сообществе. Модильяни (ModigUani) и Миллф (Miller) [302,299], напримф, подчфкивали критическую роль арбитража в определении стоимости ценных бумаг.

Здесь еще раз необходимо подчфкнуть, что условие отсутствия фбитража в совокупности с рациональными ожиданиями - еще не механизм. Это не объясняет

происхождения тех или иных процессов. Это - принцип, описывающий неожиданно появляющуюся крупную группу участников рынка. Но это не объясняет того, какие за ним стоят специфические механизмьт Допуская действие механизма отсутствия арбитража совместно с рациональнъши ожиданиями, мы приходим к вьгеоду, что часть трейдеров ведет себя таким образом, что цены отражают имеющуюся в наличии информацию, и что риск адекватно и приблизительно справедливо компенсируется. Для того, чтобы понять специфический способ, с помощью которого этого добиваются, потребуется выйти на уровень моделирования, которого пока не существует, формулирование которого является ключевым во всех проводимых исследованиях, рассмотренных нами в главе 4.

Как уже отмечалось в главе 2, существование транзакционных издфжек и других несовершенных явлений на рьппсе не должно использоваться в качестве оправдания для игнорирования условия отсутствия арбитража, а напротив, должно конструктивно привлекаться ддя изучения его юздействия на модели. Другими словами, такие несовершенства рынка считаются второстепенными эффектами.

Суш/ествомншрационалънърагентпов

Господствующее финансовое и экономическое моделирование добавляет второй важнейший организующий принцип, заключающейся в рациональности инвесторов и экономических агентов. В противоположность часто цитируемому в популярной прессе и определенных кругах представлению о фондовом рынке как о рьшке, подверженном иррациональным стадным чувствам (см. главу 4), значительная часть трейдеров большую часть времени ведет себя рационально, то есть пытается оптимизировать свою стратегию исходя из имеющейся информации. Это можно назвать ограниченной рациональностью , поскольку имеющаяся в наличии информация бьгоает неполной, и помимо этого, трейдеры финансового рьппса также обладают ограниченными возможностями по правильной оценке даже имеющейся информации. Кроме того, инвесторы не увфсны в характере и предпочтениях других инвесторов на рьпже. Это значит, что процесс принятия решения по сути своей является шумным , и, как следствие, неизбежен вероятностный подход при моделировании фондового рьпжа из-за отсутствия определенности. Ясно, что на нешумном фондовом рьпже при наличии всей информации, где присутствуют только полностью ратщональные фейдеры безфаничных аналитических способностей, уровень торгов бьш бы достаточно мал, если бы вообще присутствовал.

Принятие идеи совершенно рационального, максимизированного поведения до недавних пор побеждало в искусстве моделирования не потому, что оно часто Офажает реальность, а потому, что оно бьшо полезным. Это позволило экономистам посфоить математические модели поведения и придать своей науке сфьезный научный вид. Данный процесс начался в сфсдине 1800-х годов, развивпшсь к концу века в подход, известный сегодня, как неоклассическая экономика. Затем такие фитики XX века, как Т.Веблен (T.Veblen) (Университет Чикаго) и Дж.К.Гэлбрейт (J.K. Galbraith) (Гарвардский Университет) доказали, что люди мотивируются гльфуизмом, завистью, паникой и другими эмоциями, но не

смогли вписать эти эмоциональные состояния в модели, к которым уже привьпсли экономисты, а потому данная теория не оказала на моделирование фондового рьпжа серьезного влияния вплоть до сегодняшнего дня. Как уже бьшо показано в главе 4, датшая область знания обогащается: на базе новейших исследований в области знаний о человеческом поведении, о психологии, то есть наук, занимающихся взаимодействием индивидов внуфи общества и социальным усфойством общества, данные подходы дорабатъгоаются и расширяются.

Длинный список иррационального и аномального поведения человека в определенных специфических ситуациях не должен смутить нас: уместной задачей для понимания фондовых рьпжов является не столько понимание дантак 1фрациональносгей, сколько изучение того, как они уфупняготся и формируктг сложную, долговечную, повторяющуюся и тонко организованную среду рьшка Данное расширетше заставляет нас уйти от описания индивида в пользу исследования внезапно возшжающих коллективных поведений. Рьшок обладает массой особых качеств, защищающих его от пфсноса ирратщонального поведения индивидов на ценьт В других случаях, объединение может переименовать эту 1фрациональностъ в то, что мы будем назьгоать спекулятивными пузырями .

Ратщоналъность рьпжа, таким образом, следует понимать в том смысле, что цены активов установлены так, как если бы все инвесторы были рациональны [354]. Понятно, что рынки могут бьтть рациональными, даже если на самом деле не все инвесторы рациональны, как уже детально обсуждалось в главе 4. Миноритарная ифа , описанная в главе 4 научила нас, что рьшок становится ратщональным, если на нем присутствует достаточно много разнообразных агентов, действующих исходя из Офаниченной информации. Это согласуется с взглядом М.Рубинштейна (M.Rubinstein) (Университет Калифорнии, Бфкли), доказавшим, что наиболее важной причтшой иррациональности инвестора, в той части, где это касается цен, очень часто является свфхосведомленность , которая также оборачивается тем, что рьшок с большой долей вероятности становится гиперрациональным [354]. Действительно, слишком большая осведомленность приводит к тому, что инвесторы начинают вфить, что они смогут обьпрать рьшок. Это побуждает их фатить очень много времени на исследования и заключать сделки слишком бысфо на основе имеющейся информации, не пофывая прибьшью фанзакционные издержки. Таким образом, сверхосведомленность ведет к расширенному анализу скудной информации, имеющейся в наличии, и всфаиванию данной информации в цены бумаг, что согласуется с заключениями, полученными из миноритарной ифы .

Тем не менее, механизмы, стоящие за рациональностью рьпжа таковы, что каждый инвестор, использующий рьшок в своих интфесах, подсознательно заставляет цены офажать информацию и анализ инвестора. Рьшок в данном случае можно сравнить с офомным, относительно дешевым, постоянно проводящим голосование механизмом, который фиксирует обновляемый список голосов миллионов инвесторов, отдантатх за тот или иной проект, и голоса эти, в свою очередь, меняют текущие ценьт В свете данного механизма, инвестору-одиночке (при отсутствии инсайдерской инффмации) практически всегда безрассудно верить в то, что цены в значительной мфс ошибочны [354]. В данном контексте уместно

процитировать Рубинштейна:

Помните известный анекдот о профессоре и его студенте. Во время прогулки студент видит 100-долларовую банкноту, валяющуюся на земле. Профессор уверяет студента, что купюры там быть не может, поскольку если бы она там была, кто-нибудь уже поднял бы ее. В ответ на эту попытку проиллюстрировать неразумность веры в рациональные рынки, мой коллега Джонатан Берк задал такой вопрос: Как часто вы находили такую 100-долларовую банкноту? Он, конечно, имел в вццу, что такая находка столь редка, что в более глубоком смысле профессор прав: нет никакого смысла ходить, глнця под нот, в надежде найти на земле деньш.

Шцгюнальные прыри имода Толдстоущ шрушающие симметрию

четности

Бланчард (Blanchard) [43], а также Бланчард и Уотсон (Watson) [45] изначально представили модель пузырей рациональных ожиданий (РО), в которой была предусмотрена возможность, часто обсуждаемая в эмтшрической литературе и практиками, согласно которой наблюдаемые цены могут значительно отклоняться, в течение длительных интервалов времени, от фундаментальных цен. Несмотря на допущение отклонений от фундаментальных цен, рациональные пузьфи придерживаются ключевого правила экономического моделирования, а именно -пузьфи должны подчиняться условию рациональных ожвданий и отсутствию арбитражных возможностей. Действительно, для ликвидных активов стратегии динамического инвестирования редко действуют продуктивнее простой инвеспщионной стратегии купи и держи [282]. Другими словами, рьшок совсем недалек от эффективности и существует мало арбитражных возможностей, что является результатом постоянного поиска прибыли искушенными инвесторами. Условия рациональных ожиданий и отсутствия арбитража являются удобными приближениями. Рациональность, как ожиданий, так и поведения, не подразумевает, что цена актива равна его фундаментальной стоимости. Другими словами, могут существовать ратщональные отклонения цен от фундаментальной стоимости, называемые рациональными пузырями . Рациональный пузьфь может возникнуть тогда, когда реальная рьшочная цена положительно зависит от своего собственного ожидаемого уровня изменения, что иногда случается на рынках активов. Именно эта взаимосвязь является механизмом, лежащим в основе моделей [43] и [45].

Симметрия четности и/ен

Напомним, что цена актива по теории ратщональных ожиданий основывается на следующих двух гипотезах: рациональность агентов и условие отсутствия бесплатного обеда . Помимо этого, теория твердого основания (fum-foundation) утверждает, что ценная бумага имеет внутреннюю ценность, определяемую тщательным анализом текущих условий и будущих перспектив. Разработанная С. Элиотом Гилдом (S.EUot Guild) [183] и Джоном Б. Уилльямсом (John B.Williams) [457], эта теория основана на концепции дисконтирования будущих дивидендов. Говоря словами Бертона Малкиля (Burton Malkiel) [282],

дисконтирование относрпся к следующей концепции:

Вместо того, чтобы считать, сколько денег вы получите в следующем году (допустим $1,05, если вы положите $1 в сберегательный банк под 5% годовых), следует смотреть на то, насколько деньги, которые вы получите в следующем году, теряют в стоимости сегодня (таким образом, $1 в следующем году сегодня стоит около 0,95$, которые, будучи инвестированы и составят $1 к тому времени).

Процесс дисконтирования, таким образом, охватывает обычную концешщю, гласящую, что любая вещь завтра стоит меньше, чем сегодня: завтрашнее состояние стоит немного меньше, чем такое же состояние сегодня, поскольку мы должны подождать, прежде чем воспользоваться им. На практике подход с позиции внутренней стоимости является довольно разумным, однако, разумность лежапщх в его основании идей, при практическом применении этой идеи осложняется довольно ненадежными подсчетами: инвестор должен рассчитать будущие дивиденды, их рост в течение длительного периода времени, а также временной горизонт, на протяжении которого будет сохраняться уровень роста. С учетом этих проблем данный подход развивался Ирвингом Фишфом (Irving Fisher) [134], Грэхемом (Graham) и Доддом (Dodd) [170], так что поколения фондовых аналитиков с Уолл-Стрит пользовались той или иной формой оценки твфдых оснований при выборе своих ценных бумаг.

Поэтому, по условию рациональных ожиданий, лучшая оценка во время t цены актива p,+i во время t+1, при рассмотрении во фсмя t, дается ожиданием величины pt+i, при условии знания всей имеющейся в наличии информации, собранной ко фсмени t. Условие отсутствия бесплатного обеда затем приводит к тому, что ожидаемый доход от всех активов равен доходу г по надежному активу, такому как доход от депозитных банковских сертификатов. В связи с этим условием, получаем фундаментальную цену сегодня, равную сумме цены завтра, дисконтированной на коэффициент дисконтирования, действующий с сегодня до завтра, и дивиденда, обеспечиваемого сегодня. Дивиденд добавляется для того, чтобы проиллюстрировать тот факт, что ожидаемая завтрашняя цена должна быть уменьшена на величину дивиденда, поскольку значение стоимости пфсд выплатой дивиденда уже включает его. Стандартная форвардная или фундаментальная стоимость р, во время t, таким образом, является суммой всех будущих дивидендов, дисконтированных к настоящему t. Согласно данному правилу, если процентная ставка равна 4%, обещание платить (дивиденд) 4$ в год вечно, стоит 100$, но обещание заплатить 4$ в этом году, 4,12$ в следующем году, $4,24 еще чфсз год (выплаты увеличиваются каждый год на ту же величину, что и валовой внутренний продукт, скажем, 3%) должно стоить $400 - в 100 раз больше текущего платежа.

Оказывается, что эта фундаментальная цена не является окончательным решением данной проблемы оценивания. Легко показать, что самым общим решением является сумма фундаментального решения плюс произвольный компонент пузьфя Xt. Данный компонент пузьфя должен подчиняться единственному условию отсутствия бесплатного обеда , то есть его стоимость сегодня равна его ожидаемой стоимости завтра, дисконтированной на коэффициент дисконттфования. В компоненте пузьфя нет дивиденда! Важно отметить, что