которых он может получить информацию. С другой стороны, положение валютного блока будет являться совокупностью состояний стран-участниц.

uriPi-h-Th!

Рис. 66. Схематическое представление простой дихотомической иерархической структуры влияний среди трейдеров. Источник [398].

Модель формализует иерархическую организацию и ссылается на индивидуальных трейдеров как на трейдеров порядка 0. Согласно иерархической организации, эти трейдеры организованы в группы из т трейдеров, и мы считаем каждую группу одним трейдером порядка 1. Эти группы (или трейдеры ) порядка 1 также организованы в группы из т участников, формируя фуппу порядка 2, и так далее. Таким образом, получается иерархическая организация, где группа порядка п состоит из т индивидуальных трейдеров. Для простоты, но без потери общности, мы берем т=2. Анализ для других значений ш будет таким же, изменятся лищь детальные числовые значения.

Предполагается, что во время О все индивидуальные трейдеры нулевого уровня ифархии начинают собирать и обрабатьгоать информацию, чтобы решить, когда выходить на рьшок и выходить ли вообще. Считается, что фейдфы разнородны в том смьюле, что время, необходимое им для анализа ситуации различно для каждого из них, и, следовательно, каждому фейдеру нужно свое характфное время для принятия решения и вьгхода на рьшок. Поведение фейдеров, таким образом, отличается с точки зрения времени их действия [437]. Представьте себе, что фейдер i имеет предпочтительное время 4 чтобы купить акцию (принятую за утшкальную в этой ифушечной модели рьшка), и что ti распределено согласно какому-то распределению, натфимф, пуассоновскому (экспоненциальному) распределению. Время фейдера i купить - ti не следует путать со временем реакции после того, как решение принято. Последнее происходит практически мгновенно, поскольку фейдеру выгодно, чтобы его приказ вьшолнялся эффективно. Наоборот, время на покупку ti офажает то, что трейдфу необходимо собрать данные, провести свой анализ и убедиться, что ему необходимо выйти на рьшок. В каком-то смысле, это время необходимо ему для уфепления своей уверенности в том, что его решение правильно. Обретение этой уверенности может бьтть долгим процессом

изучения, уходятцим корнями в различия психологии и прошлого опыта. Ожидается, что характерные временные шкалы ti могут варьировать от минутных (или меньше) до годовых. Это временные шкалы для сбора и анализа новой информации.

Движение одного фейдера на рьшке может быть иетолковано другим фейдфом как значимая дополтштельная информация, в связи с неопределенностью, с которой он сталкивается. Для конфстности, представьте себе ифархическую организацию с т=2, показанную на Рис. 66. Предположим, что на нулевом уровне один из двух фейдеров фуппы доходит до конца своего временного периода покупки и вьпсодит на рьшок. Правило модели таково, что другой фейдер фуппы, и только он, имеет привилегию получать данную информацию. В принципе, возможно, что фейдф получит прибьшь, следя за действиями других фейдеров. Однако, получение информации на разных уровнях иерархии зафуднено, если вообще возможно. Более того, информация имеет свою стоимость, что накладьгоает Сфогие офаничения. Наше упрощающее предположение, таким образом, относится к офаниченному числу экономически эффективных Сфатегий с минимальным использованием информации. После анализа этой информации второй фейдер в общем положительно настроен по отношетшю к решению выйга на рьгаок. Модель устанавливает, что оставшееся время ожидания софащается заданным фактором влияния fi, меньшим, чем 1. Фактически это и есть правило подражания. Оно введено с целью смоделировать высоко нелинейное (пороговое) поведение фейдеров, с положительными и Офицательными обратными связями, что уже бьшо обсуждено в главе 4. Если ft близка к 1, тогда взаимодействие слабое, и фейдер не вносит значительных изменений в свою сфатегию после получения информации о действиях фейдера-соседа. Напротив, в пределе fiO, второй фейдер почти мгновенно выходит на рьшок, узнав о действиях первого фейдфа; это режим, где фейдфы находятся под сильным влиятшем других фейдфов той же фуппы и усиливают действия других фейдеров своим собственным решением. В данном режиме наблюдается сильный эффект толпы . Модель подразумевает, что подражательный процесс работает на всех уровнях иерархии. Когда два фейдфа порядка т, принадлежащие к одной и той же футше, в конце концов, купили акцию, эта информация передается на следующий уровень ифархии. Поскольку два фейдфа порядка ш купили, фейдер порядка т+1, определяемый как сумма тех двух фейдфов, тоже купил, и эта информация передается другому фейдфу порядка т+1 из пары. Как следствие, оставшееся время ожидания двух фейдеров этой соседней фуппы порядка т+1 также умножается на fi на данном следующем уровне иерархии. Данный процесс может продолжаться до все более высоких уровней и привести к сложному наложению действий и влияний, начиная с самого низкого уровня иерархии, поетепенно перефьгоаясь по мере того, как большее число футш подключается к более высоким уровням. Данная каскадная обработка информации геомефически проиллюсфирована на Рис. 67.

Цена акции сильно зависит от нефивиального поведения фейдеров. Данное сильно упрощенное описание не дает точной формулы цены. Действительно, модель использует очень слабое предположение, что цена является неубьгоающей

функцией общего числа позиций на покупку, принятых у трейдеров вплоть до времени t. Другими словами, кривая спроса положительна. Идея состоит в том, что спрос имеет прямое влияние на цену и склонен повьшгать ее. Другое важное упрощение состоит в том, что трейдеры заинтересованы только в покупке акции. Предположение, которое номинально, очевидно, входит в противоречие с равновесием между продавцами и покупателями: чтобы покупать, какие-то трейдеры должны продавать! Модель предполагает, на самом деле, что продавцы являются обязательно однородной грутшой, которая остается неизменной и нейтральной в течение пфиода, когда развивается прогрессивная кооперационная деятельность между трейдерами. Таким образом, задача сокращается до количественного определения временного поведения общего количества позиций на покупку.

Position

Рис. 67. Эволюция системы во времени и пространстве. По оси абсцисс расположены 512 трейдеров, связанных между собой иерархически, как показано на Рис. 66. Ось ординат представляет собой время, при этом течение времени изображено снизу вверх по оси ординэт. Вышеда]ие на рынок покупатели представлены в виде колодцев , расширение колодцев показывает распространяющееся от агента прогрессивное вторжение соседних агентов, также разместивших у брокера заказ на покупку. Обратте внимание на каскад повторений, который набл10дается в разных масштабах и по многим различным ветвям. Также набл10дается большое количество конкурирующих каскадов, идущих от различных трейдеров и в разное время. Это ведет к появлению нестабильной структуры, наблкадать которую можно на Рис. 68. Источник [398].

Данная модель делает юзможным точное определение краха. Действительно, в пределах бесконечного числа трейдеров (а, следовательно, уровней иерархтш), существование краха, происходящего в определенное время определено тем фактом, что задолго до 4 число покупателей остается маленьким и их взаимовлияние - небольщим. С течением времени их величины постепенно растут до точки to, в которой определенное количество трейдеров уже сделало заказы на покупку и уже ющло в позицию, таким образом, насытив рьшок до такой степени, что больше желающих купить нет. Модель описывает подготовительную стадию.

так называемый пузьфь , заканчивающуюся крахом, который сам по себе не моделируется.

Рис. 68 показывает определенное число трейдеров, отдавших приказ покупать в зависимости от времени. Левый фафик соответствует одной реализации начальной общей совокупности фейдфского времени ожидания в нулеюм порядке. Правый фафик показывает пять реализаций с различными начальными конфигурациями времени ожидания на двойной логфифмической шкале. Данная шкала такова, что степенная зависимость, показанная на Рис. 63 и Рис. 64, представляет собой прямую литшю. Действительно, можно наблюдать характфное степенное ускорение зависимости, оттеняемое логопфиодическими сфуктурами на многих различных масштабах по мере приближения критического времени. Оказывается, можно легко обьяснить данную модель и детально продемонсфировать существование логфифмических пфиодтиеских сфуктур, сопровождающих обычную степенную зависимость [398].

Five Realizations, 4096 Points LogioWt)] vs.Log,o(t,-t)

(plots displaced horizontally)

70000r 60000

0.0445 0.0455 0.0465 0.0475 0.0485 Nondimensional Time

-2.0 -2.5 -3.0 -3.5 -4.0 -4.5 Time-Like Variable

Рис. 68. Левая панель. Количество трейдеров, отдавших брокеру приказ на покупку, в зависимости от времени. Обратите внимание на степенное увеличение зависимости и логопериодическую структуру ступенчатых скачков, декорирующих данное увеличение. Правая панель: изображено то же, что и на левом фафике, но в двойном логарифмическом представлении. Количество трейдеров, которые вышли на рынок в зависимости от расстояния до предельного времени. Мы видим 5 разных траекторий, каждая из которых соответствует разному, но статистически эквивалентному начальному условию, отражающему изменчивость реального мира. Приблизительно линейная зависимость, декорированная крупными и сложными логопериодическими структурами, квалифицируется как степенная зависимость, что обсу)1щается в тексте. Источник [398].

Логарифмические частоты и логопфиодтиеские осцилляции определяются фактором влияния Д который количественно определяет изменения времени ожидания, оставшегося фейдеру, наблюдающему за действиями своих компаньонов и фейдеров с более высоких ступеней ифархтш.

Обратите внимание на силу логопфиодтиеских осцилляции на Рис. 68. Это

можно отнести к фундаментальной пороговой природе каскадных влияний трейдеров. Как было указано по отношению к Рис. 65, наблюдаемые величины, придающие значение экстремальному и внезапному поведению на рьгаке, усиливают эффект логопериодичности. Чтобы еще яснее донести этот аргумент, следует упомянуть, что данная модель может бьггь четко вписана в модель отказа материала благодаря каскаду внезапных разрывов [355].

Увеличение числа трейдеров, производящих скупку рьгака в раздутом пузыре подгверждаег часто цитируемое наблюдение, что пузыри - это периоды, когда применима теория большего дурака . В финансовых кругах эта теория обычно относится к покупателям ценных бумаг, уверенно покупающим, вне зависимости от дивидендов и других фундаментальных факторов. При этом такие покупатели рассчитывают на то, что в будущем смогут продать их кому-то по еще более высокой цене. В качестве иллюстрации можно привести следующий примф [142]: однажды в 1929 году Генри Форд поднимался на лифте в свой пентхаус, и лифтф сказал ему: Господин Форд, мой друг, хорошо разбирающийся в ценных бумагах, порекомендовал мне купить акции X, Y w Z. У Вас много денег, вы непременно должны воспользоваться такой замечательной возможностью . Форд поблагодарил его, но как только вошел к себе домой, немедленно позвонил своему брокфу и приказал ему продать все акции данных компаний. Впоследствии он так объяснил свой поступок: Если уже лифтф советует покупать, следовало бы давным-давно все продать . Обобщение данной мысли ведет нас к следующему заключению [309]: демофафические, технологические или экономические перемены ведут к спонтанному появлению новых идей на финансовых рьпжах и первая волна инвесторов и новаторов получает максимальную прибыль. Затем появляются подражатели и обесценивают новаторство. Во время следующих за этим физисов опоздавшие много теряют еще до того, как регулирующие органы и учебные заведения погасят пожар.

Происхождение логарифмической периодичности в иерархических системах

Фискретная масштаВшя инваршнтность

Каково же происхождение новейших логопериодических осцилляции, описывающих всеобщее ускорение вфоятности фаха, коэффициента риска фаха и самих фаекторий цены и ценовьк приращений, о которых шла речь в предьщущей главе?

Ответ прост: ифархические сети, такие как, например, ромбовидная решетка, изображенная на Рис. 62, или древовидная решетка, изображенная на Рис. 66, обладают свойством фундаментальной симмефии, назьшаемой дисфсгной Масштабной инвариантностью. Симмефия - это свойство геомефической фигуры или системы, позволяющее данной фигуре или системе оставаться инвариантными при некоторьж специфических видах преобразований, осуществляемых над объектом, например, таких как перенос, вращение, инверсия и расширение.

Наяфимф, обычные плитки, используемые для мощения полов, наделены дисфетной фансляционной симмсфией, так как они инвариантны относительно дисфетных перемещений большого числа плиток, формирующих какой-то узор, поскольку этот узор повторяется пфиодически в замощении. Симмефия доставляет нам эстетическое удовольствие и ее можно увидеть в рисунках напольного пофыгия, кофов или мебели, наблюдать в бриллиантах и древних храмах. Похоже, что природа создавала свои законы, положив в основу набор фундаментальных симмефий, таких как симмефия переноса, вращения и сдвига двух систем координат, движущихся на разных постоянных скоростях (так назьшаемая инвариантность Галилея), а также набор сфытых симмефий, назьшаемых калибровочными симмефиями (они относятся к другим внуфенним переменным, описьгоающим элементфные частицы). Похоже, что все природные явления, материя и энергия возникли лишь как небольшие отклонения от этих основных симмефий. Данные отклонения являются следствием спонтанных нарушений симмефии. Таким образом, фудно переоценить огромное значение симмефии для понимания организации и сложной сфуктуры мира.

Ромбовидная и дреювидная решетки на Рис. 62 и Рис. 66 также обладают симмефией, назьшаемой масштабной инвариантностью : в пределе, обе геомефические консфукции эксфаполируются на бесконечное число повторений, заменяя ромб одним ребром и наоборот, при этом не меняется ромбовидная сфукгура. Точно так же замена ребра в древовидном фафе, двумя ребрами более мелкого порядка не меняет всей древовидной Сфуктуры на Рис. 66. Другими словами, иерархические ромбовидные и древовидные сети могут в точности воспроизводить себя на различных масштабах или шкалах. Мандельброт (Mandelbrot) [284] ввел в науку, для обозначения таких свойств, тфмин фрактал . Основьшаясь на пионерской работе Ричфдсона (Richardson) [343] он обнаружил, что многие природные и общественные явления наделены, по файней мере, приблизительно, симмефией масштабной инвариантности. Многие из нас сталкивались с фракталами, рассмафивая префасные, искусные и сложные картины, создаваемые комтшютером. В совремешшк голливудских фильмах используются ландшафты, горные цепи, системы облаков и другие, искусственно созданные при помощи компьютера, природные консфукции. Для производства этих фильмов используются численные рецепты, созданные для того, чтобы создавать фрактальные геомефические фигуры. Оказьшается, что многие из природных сфуктур мира приблизительно могут считаться фракталами [29,126,88, 31,292,394] и наше эстетическое чувство откликается на фрактальные формы.

В самых простых фрактальньпс консфукциях и учебных примерах масштабная инвариантность не вьщфживается в случае произвольного увеличения. Это верно и в отношении двух иерархических решеток на Рис. 62 и Рис. 66. В ромбовидной решетке только такие увеличения, при которых число звеньев умножается на множитель 4, или, говоря более обобщенно, на 4 в любой степени, оставляют решетку инвариантной. В древовидной решетке только увелтиения, при которых число веток умножается на множитель 2, или, говоря более обобщенно, на 2 в любой степени, оставляют решетку инвариантной. Эти особые множители 4 и 2, соответстаенно, являются прямым следствием схемы построения данных