+1 о о

о I

-145-

-150-

-161

-184--230

-157 -168--183 -203-

чэ 00

+1 -н

4-1

-6 -11 -18 -26 -36 -50 -67--90--120

-0.3-

-62-

-71 -

-95-

-190-

-330-

-570--1000 -1800

Viviparity

Homeothermy

Tetrapods

Supporting Structure Multicellular Stage

Eukaryote Cells

1С II

01 t3

-180--338--433 -490--524

-3300 -i Origin of Life

Рис. 84. Даты (в миллионах лет, обозначенные символом My ) относительно начала времени, за которое принято настоящее время (отскща офицательные даты, относящиеся к прошлому), основных эволюционных событий семи линий (простая эволюция от зарождения жизни до живорождения, ящеров, фызунов, копытных, примэтов, включая гоминидов, и т.п.) нанетены черными точками. Шкала временной оси такова, что черные точки должны бьпъ равноотстоящими в логарифме расстояния по времени от эпохи точки до фитического времени Тс, которое лежит за концом последовательности. Даты, указанные рядом с каждой точкой, соответствуют точным численным значениям, предсказанным логопериодической

Вироиды, Вирусы) до царств, типов, подтипов, отрядов, подотрядов, семейств,родов и, наконец, видов. Эти различные уровни соответствуют основным точкам разветвления, таким как путь от вида до рода, затем до семейств, и так далее, и похожи на возвращение назад во времени и наблюдение за созданием последовательными этапами новых видов. Например, домащняя коппса имеет следующее происхождение: эукариоты, хордовые, черепные, позвоночные, млекопитающие, плацентарные, хищные, копжи, кошачьи, кошка домашняя (смотри http: www.ncbi.nlm.nih.gov/raxonomy/tax.html/).

Существует много свидетельств, что эволюция характфизуется квазистатическими фазами, внутри которых виды остаются стабильными в течение долгих периодов времени, прерываемых эпизодическими взрывами активности, с разрушением видов и созданием новых [168,169]. Таким образом, существуют достаточно точные даты для видообразования, а, следовательно, можно определить длину ветвей между узлами на древе жизни , представляющую временные интервалы между такими крупными эволюционными событиями. Может ли это дерево бьтть описано математической структурой, по крайней мере, на статистическом уровне? Оказывается, да; замечательно может. Нотталь (Nottale), ChaHne (Шалин) и Grou (Гроу) [74, 317, 318] недавно предположили, что самоподобный закон логопериодичности характеризует древо жизни. Правда это или нет, но этот пример дает простое и замечательное применение логопериодичности.

Вспомним, что логопериодичность в настоящем контексте синонимична существованию периодичности некоторой наблюдаемой величины как функции от логарифма In Тс-Т (длительности от времени Т до некоторого критического времени Тс). Периодичность зависимости некоторой наблюдаемой величины от переменной In Тс-Т подразумевает существование иерархии характерных временных масштабов Tg<T2<..<T <T +i<.., соответствующих, например, периодическим максимумам наблюдаемой величины как функции времени, зацанной вьфажением:

Tn=Tc-(Te-To)g ,

где g является предпочтительным дискретным масштабным коэффициентом лежащей в основе дискретной масштабной инвариантности (которая бьша вьште обозначена X). Эта формула (11) оказьтается хорошо удовлетворяющей датам основных эюлюционных событий, показанных на Рис. 84.

Обратите внимание, что промежутки Т +1-Т между последовательными значениями Т приближаются к нулю, когда п становится больше и Т стремится к

моделью, вычисленной по наилучшей подгонке к каждому временному ряду. Совершенная логопериодичность квалифицируется равноотстоящими черными точками. Офугленное фитическое время Тс и масштабный коэффициент дуказаны для каждой линии после стрелок. В случае иглокожих логопериодичность является перевернутой, то есть Тс находится в прошлом и характеристические времена Га все больше и больше разделяются по мере течения времени от прошлого к будущему. Источник [318].

критическому времени Тс- Из трех последовательньк рассматриваемьк значений Т , скажем, Т , T +i, Т +2, критическое время Тс может бьпъ определено по формуле:

гТу2 гр Z гр

(12)

Данное отношение инвфиантно относительно произвольного переноса во времени. Помимо этого, последующее время Г +з предсказывается из предшестювавшего Т по формуле:

гр П + 1

+3 ~

Т -Т

п+1 п

(13)

Данные формулы воспроизведены в главе 9 как (23) и (24), в разделе, озаглавленном Иерархия предсказьшающих схем .

Н0Т1ЭЙЛ, Шалин и Гроу [74, 317, 318] обнаружили, что североамериканская ископаемая лошадь, приматы, грызуны и другие роды прошли по эволюционному пути, перемежаемому основными собьттиями, описьгоающимися геометрическим временным рядом (11). Критическое время Тс приблизительно датируется настоящим для лошадей, что согласуется с вымиранием данного вида в Северной Америке 10000 лет назад (но это также могло быть совпадением, поскольку североамериканские лошади начали вымирать, когда на континент пришли люди и начали на них охотиться). Критическое время Тс для приматов отстоит, примерно на 2 миллионам лет в будущее от настоящего момента, а для фызунов - примерно па 12 миллионам лет в будущее. является концом (и, соответственно, началом) эволюционного процесса для усиливающихся (и, соответственно, слабеющих) эволюционньк ветвей. Для усиливающихся ветвей критическое время Тс может условно бьпъ истожовано, как утрата данной ветвью способности эволюционировать, а не как обязательно предопределенный период вымирания фуппьт

Конечно же, существует много методологических вопросов, а также фундаментальнък биологических проблем, связанньк с предложенным логопериодическим законом (11). Вполне вфоятно, что данная закономерность может быть артефактом данньк (поскольку имеет много недостатков) и метода анализа. В частности, чем дальше в глубину веков мы движемся, пьпвясь воссоздать прошлое, тем более необработанной и скудной становится информация. Возможно, что эта скачкообразная выборка может создать очевидную логопфиодичность способом, обсужденным в [203], но несколько экспфиментов, кажется, исключили данную вероягаость. Если логопфиодический закон эволюции жизни , заданный вьфажением (11), окажется подлинным, это пофебует глубокого объяснения. В любом случае, он дает фкий пример значения дисфетной масштабной инвариантности для более профачной организации комплексньк данньк, возможно, подводя нас к более глубокому пониманию.

Нелинейное следование тренду против нелинейной динамики фундаментального анализа

Данньтй раздел представляет альтернативное понимание возникновения фитических точек (конечно времеппьк сингулфностей), осложнеппьк ускоряющимися осцилляциями. Это альтернативное пониматше основывается па описании динамической системы , в которой данные характфистики возникают динамически. Основным компонентом является сосуществование двух классов инвесторов, фундаменталистов или стоимостньк инвесторов и инвесторов, следующих за фендом (часто называемьк чартистами, техническими аналитиками или шумовыми фейдерами па жаргоне финансовой науки). Вторым важным компонентом является признание того, что оба класса инвесторов ведут себя нелинейно . Данные два компонента порождают конечно-временную сингулфпость с ускоряющимися осцилляциями. Сингулфпость степенной зависимости является результатом нелинейно вофастающего темпа роста в связи со следованием фенду. Являющиеся приблизительно логопериодическими, осцилляции с замечательными свойствами масштабирования происходят. от нелинейной возвращающей силы, с помощью которой фундаментальные инвесторы, сфемящиеся вернуть цену к ее фундаментальной стоимости, влияют па нее. Можно наблюдать богатое разнообразие поведений как функции степени нелинейности темпов роста и восстанавливающей сильт Мы увидим, что динамическое поведение прослеживается назад к самоподобной спиральной Сфуктуре динамики (цены, ценовьк изменений) в просфанственном представлении, разворачивающейся вофуг ценфальной фиксированной точки [205].

Колебание цены актива па фондовом рьшке контролируется спросом и предложением, другими словами, чистым размером приказа Д равным числу приказов брокеру на покупку минус приказы на продажу. Ясно, что цепа растет (и, соответственно, падает), если Q положителен (и, соответственно, офицателен). Если отношение цены р , при которой исполняются ордфа к предьтдущей цене котировки р, является исключительно функцией чистого размфа приказа Q, и если предположить, что невозможно получить прибыль повторяющейся торговлей ценными бумагами с окончательной разницей между покупками и продажами, равной нулю, то можно показать, что разность между логарифмом цены завфа и сегодня прямо пропорциональна чистому размеру приказа £1 [123]. Чистый размер приказа Д являющийся результатом действий всех фейдеров, с течением времени непрерывно приспосабливается так, чтобы офажать информационный поток на рынке и эволюцию мнений фейдеров и их насфоений. Различные производные устанавливают связь между изменением цепы или изменением логарифма цепы и факторами, контролирующими сам чистый размер приказа [123, 49, 330]. Три базовьк компонента считаются важными при определении ценовой динамики: следование фенду, возвращение к фундаментальной стоимости и неприятие риска.

Следование за трендам: пол{щительная нелинейная оЕратяая связь и щнечно-

временная сингулярность

Следование за трендом (в различных сложных формах) было (и, юзможно, все еще является) одной из основных стратегий, используемых, так назьгоаемыми, техническими аналитиками (см. в [6] обзор и ссылки). В своей самой простой форме следование за трендом равнозначно восприятию чистого размера приказа Q как пропорционального прошлой тенденции, то есть разности между логарифмом цены сегодня и логарифмом цены вчера Стратегии следования тенденции, таким образом, оказьюают положительную обратную связь на цены, поскольку рост (падение) предшествовавшей цены ведут к появлению приказов на покупку (продажу), таким образом, усиливая предшествовавшую тенденцию. Само по себе, это подразумевает, что разность в логарифме цены между завтра и сегодня пропорциональна логарифму цены между сегодня и вчера. Это простое отношение выражает существование постоянного темпа роста, ведущего к экспоненциальному росту логарифма цены. Это значит, что цена растет как экспонента экспоненциальной функции времени.

Данное линейное отношение между колебаниями прошлой цены и чистым размером приказа обычно выбирается создателями моделей. Здесь мы отступим от этого предположения и рассмотрим его более реалистично, предположив, что чистый размер приказа может расти быстрее, чем предшествовавшее изменение цены: то есть, они связаны нелинейными соотношениями. Действительно, малое изменение цены на интервале времени от t-1 до t не должно восприниматься как значительный и сильный рьшочный сигнал. Поскольку многие инвестиционные стратегии нелинейны, естественно будет рассмотреть средний размер трендследящего приказа, который ускоренно растет по мере того, как изменение цены увеличивает свою амплитуду. Обычно следующие тренду участники рьшка увеличивают размер своих приказов быстрее, чем просто пропорционально прошлой тенденции. Это напоминает нам о доводах в пользу того [6], что психология трейдеров чувствительна к смене тренда ( ускорение или замедление ), а не просто к тренду ( скорости ). Тот факт, что трендследяпще стратегии имеют влияние на цену, пропорциональное изменению цены в течение предшествовавшего периода, возведенному в некоторую степень т>1, означает, что стратегии, следующее тенденции нелинейны, если взять их в среднем: они склонны слишком слабо реагировать на малые изменения цены и слшиком сильно реагировать на крупные. Обратите внимание, что значение т.=1 восстанавливает лшейный случай. Рис. 85 объясняет концепцию нелинейной реакции.

Когда сумма трендследящих поведений выражается в нелинейной форме, так что чистый размер приказа £2 пропорционален степени разности между логарифмом цены сегодня и логарифмом цены вчера с показателем степени больше 1, то согласно тому же рассужцению, что и в подразделе, озаглавленном Интуитивное объяснение создания конечно-временной сишулярности при t в главе 5, цена демонстрирует сингулярность конечного времени. Данный эффект является просто перефразировкой явления, уже описанного моделью, управляемой ценой, обсуждавшейся в той главе.

0.5 1

Observed Price - Fundamental Price

Рис. 85. Мы проиллюсфируем различную реакцию системы (чистый размер приказа показан по оручинате) в зависимости от стимула (расстояния тищ/ рыночной ценой и фундаментальной ценой, показанной по а6(щиссе) для различных нелинейных зависимостей, количественно измеряемых параметром гг. реакция=стимул. Для п=1 реакция пропорциональна стимулу, как показано прямой непрерывной линией: это линейное описание. Для n>t, например, гЫ, реакция очень мала на малые стимулы, но начинает быстро расти, когда стимул вырастает выше некоторого характерного значения, здесь нормированного к 1, как показано кривой непрерывной линией. Это случай, обсуждаемый здесь. Линия точка-тире соответствует более сильной нелинейности с показателем степени 110, демонсфирующим еще более сильную, почти пороговую природу реакции системы. Тонкая пунктирная линия иллюсфирует противоположную нелинейную ситуацию с параметром п<1, для которого реакция быстро усиливается для малых стимулов, но нейтрализуется при больших стимулах.

(Возврат 1{фундалшт1альной апоиллости: отрицательная нелинейная

обратная связь

Фундаментальная торговля ценными бумагами основывается на оценке финансовой стоимости компании, основанной на объективных экономических и бухгалтерских критериях, таких как активы, доходность, потенциал роста Фундаментальный аналитик, таким образом, устанавливает сюю оценку правильной фундаментальной стоимости данной фирмы и затем сравнивает ее с ценой, зарегистрированной на фондоюм рьшке. Если последняя ниже, чем фундаментальная цена, это возможность купить, поскольку аналитик ожидает, что фондовый рьшок вскоре осознает, что акция недооценена по сравнению с ее реальной стоимостью. Вытекающая отсюда волна предпочтительных приказов на покупку поведет цену вверх до тех пор, пока не будет достигнута фундаментальная стоимость. В данных обстоятельствах решение купить основывается на уверенности, что вы