Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Распределение и корреляция приращений 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [ 52 ] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65

5.00

4.50

4.00

3.50

3.00

2.50

2.00

1.50

1.00

0.50


Рис. 154. Эволюция функции плотности вероятностей, представленная в проекции для переменной v в полной системе уравнений Лоренца, обеспечивающих упрощенную модель атмосферной динамики. Переменная v изображена вдоль горизонтальной оси так, что центром симметрии является начальное условие. Время t изображено вдоль вертикальной оси. По ходу увеличения времени (вверх), изначально контрастное распределение в t=0 расширяется, но затем демонстрирует повторное появление контрастности (на t=0,4), увеличиваясь и заостряясь. Позднее, распределение разбивается на две ветви: переменная v либо значительно выше, либо ниже изначального значения, тогда как прогноз в среднем предсказывает значение посередине, чего на самом деле, почти никогда не происходит. Это иллюстрирует фундаментальные офаничения прогнозов, основанных на одном репрезентативном значении. Источник [388].

Отметим, что изучение данной системы 01сазалось инсфументом развития теории хаоса в 1970-ых и в 1980-ых годах. Вертикальная ось представляет собой ближайшее значение метеорологической переменной, скажем, скорости вефа v. Вертикальная ось есть время, которое в данном случае охватывает интервал от О до 5. Для каждого значения времени, фетье измерение, в перспективе, показывает

распределение вероятностей скорости вефа v: максимум начального колоколоподобного распределения относится к наилучшим начальным тфедположением относительно текущего состояния системьт Ширина колоколообразной фивой дает оценку начальной неточности наших наблюдений: мы делаем первоначальное измерение скорости вефа, и при этом мы знаем, чго любые измерения несут в себе определенную долю неточности, в данном случае, количественно определяемые при помощи вероятности того, что реальные условия отклоняются от натшучшей оценки, соответствующей вфшине. Чтобы создать это распределение, 4096 начальных условий, выбранных наугад, просчитываются согласно уравнениям движения Лоренца. Таким образом, каждое из этих 4096 условий определяет вероятностную фаекторию. В выбратшый момент времени вычисляется значение v для каждой из фаекторий, а обьединение 4096 значений дает статистику, согласно которой можно построить распределение v. На начальных стадиях распределение расширяется: обратите внимание, что амплитуда пиков уменьшается, а распределение становится шире. Это говорит о том, что через некоторое время, степень неточности значения v начинает увеличиваться и, следовательно, уфачивает прогностическую способность. До времени t=l,5, можно увидеть чередующееся ухудшение и улучшение характеристик прогаоза, поскольку функция распределения попеременно заосфяется и расширяется. Это первый, довольно неинтуитивный урок: в хаотической динамике присутствуют периоды уменьшения неточности [388]. Расширение горизонтов прогноза не всегда ведет к дефадации предсказания, что кошрастирует со стандартным мнением относительно хаотической динамики. После отметки времени t=l,5, функция распределения распадается на две отдельные ветви. При t=2,5 уже четко видно, что скорость вефа будет иметь либо сильные положительные, либо офицательные отклонения от первоначальной оценки, но оптимальный прогноз, составленный путем усреднения всех возможных фаекторий, близок к пфвоначальному. Это и есть фундаментальный недостаток подобной стандартной техники предсказания в нелинейной системе [388], что подчфкивает необходимость учета распределений или набора сценариев, в отличие от среднего, сводного или репрезентативного прогноза. Во время t=2,5 ни одна отдельно взятая фаектория не является надежным Офажением сложности динамики. Из-за сфуктуры динамики в данном примере, должны учитьгоаться хотя бы два основных сценария.

Помнить о том, что предсказания по сути своей связаны с сопутствующей им неточностью, еще более важно, если принимать во внимание комбинатдаю неточности наблюдений и ошибку модели. Ошибка модели относится к тому факту, что, в общем, мы не знаем точных уравнений динамики системы, которую хотим прогнозировать. У нас есть лишь приблизительное представление о ее сложности, а модели, используемые для прогнозирования, всего лишь часть общего процесса. Данная ошибка модели определенно накладывает резкие ограничеттия на то, что мы можем сказать в отнощении будущего системы. Работать с фуппой фаекторий для каждой модели, где модель является частью фуппы моделей - один из способов

3622



сократить эти фундаментальные офаничения [368].

Ниже дается описание того, как эти идеи могут бьггь применены к предсказаниям финансовых фахов. Различные модели относятся к различным реализациям теории фитических точек с логопфиодическим степенным законом. Дтя каждой модели будут сгенфированны отдельные сценарии, при помощи различных решений, полученных путем подбора соответствий.

Как разрабатывать и интерпретировать статистические тесты логопериодичности

Прежде чем рассмафивать проблему предсказаний, необходимо вфнуться к юпросу о возможной необьективности при подгонки финансовых временных рядов, представленных в главах 7 и 8. Выбирая временные окна на основе существования (1) изменения режима и ускорения роста рьшочных цен и (2) фаха или сильной коррекции в конце, мы, по чистой случайности, могли так сократить данные, что это, возможно, фивело к соответствию с логопериодическим степенным законом. Данный вопрос должен подниматься всякий раз, когда какому-либо показателю фисваиваегся статус индикатора с характеристиками федсказания. Для этого существует фундаментальное математическое обоснование: английский математик Ф. П. Рамси (F. Р. Ramsey) доказал, что абсолютная беспорядочность невозможна [173, 172]. Всякий большой набор данных, типа рядов фшансовых цен, или пунктов, или обьектов, обязательно содержит устойчиво регулфные характерисшки. Так, например, ночное небо заполнено созвездиями в виде фямых линий, четырехугольников и пятиугольников, имеющих наюдящие названия, которые бьши придуманы древними астрономами, такие как Лев, Овен, или Скорпион. Может ли быть так, что подобные геомефические формы происходят от неизведанных космических сил? В 1928 году, Рамси доказал, что подобные модели присущи любой сложной Сфуктуре. Звезд на небе достаточно, чтобы найти там любую фигуру или модель. Взяв достаточно длинный ряд цифр, вы сможете отыскать там любую систему, нафимф, ваш день рождения, или другое число, представляющее для вас интерес. На интуитивном уровне, можно офеделить, что довод лежатций в основе этой теоремы, заключается в том, что набор случайных данных не бьш бы случайным, если в нем нельзя бьшо бы обнфужить любую закономерность. Случайность в том и состоит, что может проявиться любая сфуктура

Соответственно, становится актуальным юпрос, сколько же понадобится звезд, чисел или фигур, чтобы гфантировать фисутсгвие желаемой системьт Другими словами, какова вероятность обнаружения необходимой подсфуктуры в конкретном наборе данных? Поиск ответа на этот вопрос и есть область статистики и ее экономического филожения, экономефии. Если можно доказать, что число звезд на небе, необходимое для получения какой-то определенной системы, немногим больше того, что можно наблюдать, возникает резонный юпрос, является ли фисутствие этой самой системы в данном наборе звезд не только юлей случая. Это и есть основы метода проверки статистической гипотезы, который выявляет так

назьшаемые уровни статистической достовфности : если уровень достовфности того или иного явления, скажем, 99%, это означает, что вероятность его случайного фоисхождения ничтожно мала, то есть 1 из 100.

В данном контексте, мы, прежде всего, ссьшаемся на описатше компьютфного экспфимеша, фиведенного в разделе главы 7 под названием Медленный обвал в 1962 году, положивший конец буму электроники , в ходе котфого пятьдесят 400-недельных временных интфвалов за пфиод с 1910 по 1996 год по индексу Доу-Джонса бьши выбраны случайным образом [209]. Этот экспфимент показывает, что фаектории, пфамефы которых соотносятся с тремя фахами в 1929, 1962 и 1987 годах, вероятнее всего бьши не случайными совпадениями. Федженбаум (Fegenbaum) и Фронд (Freund) также рассмафивали выбранные случайным образом временные окна на реальных данных и, в общем, не обнфужили фисутсгвия логопфиодичносги в этих окнах, за исключением тех пфиодов, когда крахи бьши уже неизбежны [128]. Позднее, Федженбаум изучал пфвую произюдную по логфифму индекса S&P500 за пфиод с 1980 по 1987 года и обнаружил, что нельзя офицагь наличие логопфиодического компонента с уровнем достовфности 95% [127]: проще гоюря, это означает, что вероятность случайного юзникновения логопфиодического компонента меньше, чем один к двадцати.

В целях дальнейшего тестирования надежности улучшенной гипотезы логопериодичности Иохансен, Ледуа (Ledoit) и я [209] проверяли, может ли нулевая гипотеза о том, что стандартная статистическая модель финансовых рьшков, назьгоаемая GARCH(1,1) с распределением шума Стьюдента, обьястшть наличие логопериодичносги. Из 1000 сгенффованных наборов данных продолжительностью по 400 недель, которые были сгенфированы и проанализированы, только два 400-недельных интервала бьши расценены как реальные фахи фи использовании GARCH(1,1) с распределением шума Стьюдента. Эти результаты соответствуют уровню достовфности 99.8%, что исключает вероятность того, что GARCH(1,1) с расфеделением шума Стьюдента намеренно сгенерировала логопфиодичность. Мы не рассмафиваем сам фах; наша задача всего лишь проверить может ли логопфиодичность такой силы, как перед фахами в 1929 и 1987 годах бьтть сгенерирована фи помощи одного из стандартных генераторов финансоюго временного ряда, активно используемого как теоретиками, так и практиками. Кроме того, необходимо добавить, что если бы даже два Пфиода со значительным присутствием логопфиодичносги, полученные фИ помощи симуляции с использованием GARCH(1,1) с распределением шума Стьюдента не закончтшись фахами, у нас все равно есть поюд еще раз убедиться в том, что поведение настоящих рынков фагически отличается от предсказанного одной из самых фундаментальных моделей финансоюй индусфии. В самом деле, частота фахов в симуляции Моше-Кфло бьша бы значительно ниже, чем частота фахов в реальной жизни и если один из наиболее часто используемых методов индусфии не способен воспроизвести отмеченную частоту фахов, то ученым есть над чем подумать и что обосновать. Для этого могут понадобиться новые концепции и методы.

Необходимо подчфкнуть, что наука не предоставляет фавдивых данных: единственное, что можно делать, это строить модели и опровергать их на



определенном уровне статистической значимости. Те модели, которые не были опровергнуты в процессе противопоставления все большему количеству данных, приобретают статус теории (вспомните, например, квантовую механику, которая неоднократно тестируется). В датшом контексте становиться ясно, что в идеале, мы никогда не сможем доказать существование логопериодичности, как отличительной черты особых рыночных механизмов. Лучшее, что мы можем сделать, это одну за другой тестировать модели индустрии, чтобы провфить, создают ли они такие же структуры, как и те, что мы наблюдаем. Конечно же, бьшо бы тштересно протестировать более сложные модели таким же образом, как и GARCH(1,1) с распределением шума Стьюдента. Однако, мы предупреждаем, что опровфжение одной модели за другой все равно не докажет существования логопериодичности. Это за пределами возможностей статистического и экономсфического анализа Если большое количество моделей не сможет обьяснить зафиксированную логопфиодичность, то это будет означать, что логопериодичность представляет собой важный факт, который необходимо понять.

Также вызывает опасения вероятность того, что такой интефированный процесс как случайное блуждание, который суммирует случайные события во времени, может опять-таки случайно сгенерировать логопфиодические сфуктуры. На самом деле, Хуанг (Huang) и другие специально проверяли следующую проблему: При каких обстоятельствах интефированный процесс может сгенфРфовать ложную логопфиодичность? Ответ, полученный в результате длительных и тщательных тестов методом Монте-Карло, имеет двоякое тожование. (1) Для более или менее регулфно выбираемых временных рядов таких, как в случае с финансовыми временными рядами, интсфал зашумленной логопериодической функции разрушает логопфиодический сигнал! (2) Ложная логопфиодичность в интефированном процессе наблюдается только, когда скорости выборки (sampling rates) растут экспоненциально или как степенной закон tri. Название Монте-Карло подразумевает идею о том, что случайные (как в казино) ряды с определенными характеристиками используются для тестирования Вфоятности того, что возникновение определенной сфуктуры всего лишь случайность: если такая вероятность очень мала, скорее всего, соответствующая Сфуктура не случайна. Следовательно, можно сделать вывод, что данная сфуктура могла возникнуть под влиянием случайного набора воздействий, которые необходимо исследовать и использовать.

В конечном счете, только предсказания вперед могут продемонсфировать пользу от этой теории (см. раздел Прямые предсказания далее в этой главе), так что время покажет. Однако, множество примеров, приведенных в главах 7 и 8, а также анализ далее в этой главе, указывают на ее интересный предсказательный потенциал. Тем не менее, основной вопрос касается возможности использования надежной схемы прогнозирования фахов, если таковая существует. Предположим, что проявилось предсказание фаха, в котором говорится, что, начиная с сегодняшнего дня, чфез один - два месяца произойдет фах с амплитудой 20%-30%. В данном случае возможна реализация как мштимум фех сценариев [217]:

Никто не вфит в это предсказание, которое в данном случае становиться бесполезным, и, в предположении, что оно бьшо вфным, рьшок падает.

Можно рассмафивать это как победу предсказателей , но нам уже пришлось столкнуться с тем, что наше количественное предсказание изменения тренда индекса Nikkei [213,216] бьшо расценено фитиками, как еще одно везение , не имеющее никакой статистической значимости (см. далее раздел Оценка статистической значимости прямых предсказаний [216] и приведенный ниже альтфнативный байесовский подход).

Все верят предсказанию, начинается паника и в результате рьшок падает. Таким образом, предсказание вьллядит самореализованным и успех по большей части прттисывается панике, а не реальной силе предсказания.

Достаточное большое количество инвесторов полагают, что предсказание все же может оказаться правдивым и предпринимают соответствующие меры, вьшуская пар из пузьфя. Предсказание опровфгается.

Ни один из этих сценариев не выглядит привлекательно. В пфвых двух случаях, фаха не удалось избежать, а в последнем случае прогноз оказался несостоятельным, и, как следствие, теория выглядит ненадежно. Вероятно, это и есть неизбежная участь научных исследований систем, в которых присутствуют элементы обучаемости и юзможности воздействия, в противоположность неизменным и безжизненным физическим законам природьт Более того, зафагивается важнейший юпрос о научной ответственности. Естественно, ученые несут ответственность за опубликование своих отфьтгий. Однако, история говорит о том, что когда дело доходит до практического применения данных отфытий в обществе, вопрос в значшельной мере усложняется. Но мы полагаем, что более глубокое осознание потенциальной нестабильности рьшка, затронутой, в частности, в нашем подходе, поможет построить более устойчивый и эффективный фондовый рьшок.

Предпосылки для предсказания

Время переводится в десятичные годовые единицы: для невисокосных лет, 365 дней= 1,00 года, что означает 1 день = 0,00274 года Таким образом, 0,01 года = 3,65 дней, а 0,1 года = 36,5 дней или 5 недель. Например, 19 октября 1987 года соответствует 87,800.

KflKgea предсказательная возможюстъ уравнения (15)

В Табл. 12 представлена сводка предсказательной возможности уравнения (15) для фахов на Уолл-Сфит в 1929,1987 и 1998 годах, а также для фахов в 1987, 1994 и 1997 годах на фондоюм рьшке Гонконга, обвала доллара США в 1985 году и падения индекса Nasdaq в апреле 2000 года. Все эти фахи уже рассмафивались подробно в главе 7.

Мы видим, что ю всех девяти случаях падение рьшка началось в промежуток времени между последней точкой и предсказываемым временем 4- За исключением фаха в октябре 1929 года, во всех случаях обвал рьпжа префатился меньше чем через месяц после прогнозируемого 4. Эти результаты гоюрят о том, что предсказание фахов при помощи уравнения (15) вполне возможно.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [ 52 ] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65