Табл.12

tc - критическое время, предсказанное соответствием финансового временного ряда уравнению (15). Даются также и остальные параметры соответствия пъ, ы и А. Соответствие осуществляется, начиная со времени tmax, когда индекс достигает своего максимального значения перед падением, до времени tmin, обозначающего самое низкое значение индекса перед изменением трекда. Падение в процентном соотношении вычисляется из общего объема потерь от W до tmin. Источник [218].

За щкдг время Ъо vpaxsi мсщно обнарущтгь логопериодтескуе структуры

Важно не только предсказьгеать будущие крахи, но также необходимо в дальнейщем провфить достоверность результатов. Очевидно, что если наличие логопериодических структур в данных были чистой а1учайностью, значения полученных параметров, должны сильно зависеть от величины временного интфвапа, использованного в подгонке. Систематическая процедура тестирования, описанная в [209], с использованием расщирения второго порядка степени риска обвала [397] и 8-летнего временного интфвала, федществующего двум фахам в октябре 1929 года и в октябре 1987 года заключается в следующем.

Для каждого из этих двух фахов, временной интфвал, используемый в подгонке, бьш софащен путем удаления части данных, и процедура фиведения в соответствие проводилась заново для усеченных наборов данных. В частности, логарифм индекса S&P500 бьш усечен до конечной даты фимерно в 1985 году и подогнан. Затем, последовательно фибавлялось по 0,16 года и проводилось соответствие, пока полный временной интфвал не бьш восстановлен. В Табл. 13 дается число минимумов, полученных для различных временных интервалов. Это число, в некоторой степени, достаточно произвольное, поскольку естественным образом зависит от числа точек, используемых в фсдварительном сканировании, а также от размера временного интфвала, использованного для U В частности, использовалось 40000 точек, а поиск по tc проводился в выбранном интервале, начиная с 0,1 года после последней точки данных, и на 3 года вперед. Однако наибольший интерес представляет число решений в виде этих соответствий (каждое решение соответствует минимальной степени ошибки между реальными данными и теоретической функцией), фи которых допустимые парамефы обозначались как физические , особенно для значений t mz, to и А где является

дополнительным временным параметром, офеделяющим размф фитического диапазона. Основной вьшод который можно сделать, основываясь на данных из Табл. 13, состоит в том, что за год или более до фаха, данные являются недостаточными для того, чтобы получить какие-либо убедительные результаты. Эта точка соответствует окончанию четвертой осцилляции. Приблизительно за год до фаха, соответствие начинает фиксироваться на дате фаха с увеличивающейся точностью. Фактически, в четырех из пяти последних временных интервалов, существует подгонка с t которое отличается от реальной даты фаха всего лишь на несколько недель.

Табл.13

Число минимумов, полученных в результате приведения в соответствие различных усеченных версий временного ряща индекса S&P500, показанного на Рис 92, с целью предсказания краха в октябре 1987-го с использование процедуры, описанной в тексте. Обратите внимание, что предсказываемое время краха постепенно откладывается по мере увеличения конечной даты. Однако, правильное время краха определяется достаточно рано (в рефоспективе) и периодически повторяется по мере увеличения конечной даты. Источник фт].

Чтобы лучше изучить этот вопрос, в Табл. 14 фиюдятся соответствующие значения параметров фех фугих, имеющих отношение, переменных mz, со и А,-Сценарий сходен со сценарием для tc. Это говорит о том, что процедура подгонки [397] достаточно устойчива, фимфно за год до фаха. Однако, если кто-либо

захочет на самом деле предсказать время краха, он столкнется с серьезным препятствием, так как процедура поиска соответствия вьщает несколько возможных дат краха, даже для последнего набора данных.

Табл.14

Приведены соответствующие значения лараметров друтх трех переменных шг, ш и для последних пяти временных интервалов, данных в Табл. 13. Источник [397].

Табл.15

Усредненные значения параметров, приведенных в Табл. 14 Источник [397].

Усредненные значения различных минимумов для переменных т2,сои А -наивное решение этой проблемы - приводятся в Табл, 15. Значения переменных /п o)w.At колеблются в пределах 20% по фавнению с наилзтаиим предсказанием, но прогноз по tc почти не улучшился. Это обьясняется тем, что соответствие вообще проскакивает действительную дату фаха. Подобное проскакивание согласуется с моделью рационального ожидания пузыря и фаха, описанной в главе 5. На самом деле, tc не есть время фаха, а лишь его наиболее вероятное значение, то есть, время, когда асиммефичное распределение возможного времени фаха достигает своего пика. Возникновение фаха - это субъективное явление, вфоятность которого растет по мере приближения ко времени tc. Таким образом, мы ожидаем, что соответствия будут вьщавать значения tc, которые, по сути, близки, но систематично запаздывают по фавнению с реальным временем обвала: фитическое время tc включено в Сфуктуру логопфиодического степенного закона пузьфЯ, тогда как фах происходит под влиянием случайного толчка, при этом его вероятность растет по мере приближения ко времени Неподобная процедура использовалась для логарифма индекса Доу-Джонса перед фахом в 1929 году, показанного на Рис. 97. Результаты приводятся в Табл. 16, Табл. 17 и Табл. 18. В данном случае необходимо дождаться, пока до фаха останется приблизительно четьфе месяца, прежде чем подгонка зафиксирует дату фаха, а в остальном, картина такая же, как и для фаха в 1987 году. Причина того.

Конечная дата Общий минимум Физический минимум

27.37 27,56 27.75 27,94 28,13 28,35 28,52 28,70 28,90 29,09 29,28 29,47 29,67

12 14 24 21 21 23 18 18 16 19 33 24 23

1 2 1 1

4 4 1 1 4 2 1 3 1

1с физического минимума 31.08 30.44,3085 30.34 31.37

29,85,30,75,30,72,3050 3029,30,47,30.72,30.50

31,3

31.02

30,40,30,72,31,07,30,94 30.52,30.35 3061 29.91,301,29.82 29,87

Таблица, подобная Табл. 13, для краха в октябре 1929 года Источник [397].

Табл. 17

Таблица, аналогичная Табл. 14, для фаха в октябре 1929 года Источник [397].

Табл. 18

Усредненные значения параметров, приведенных в Табл. 14 Источник [397].

Февдженбаум подтвердил это, поскольку для фаха в октябре 1987 года за исключением последнего года данных, логопфиодический компонент теряет статиспиескую значимосп. . Эго не должно стать неожиданностью для специалистов по фитическим явлениям, и наивно ожидать чего-либо другого.

что соотвеплвие фиксирует дату фаха в 1929 году позднее, очевидно, в разнице во времени пфехода А для двух фахов, что говорит о том, что пфед обвалом в 1929 году по индексу отмечалось меньше чепсо обозначенных осцилляции.

Табл. 16

Выявление степенного закона Bite - tf действительно очень чувствительно к шуму и удаленности исследуемых данных от tc.

Этот факт хорошо известен экспериментаторам и многим ученым, рабагаюптим над критическими явлениями, и вложившим много сил в разработку надежных экспериментов, способных исследовать систему настолько близко к критической точке 4, насколько эго возможно, чтобы получить надежные значения tc и тг. Типичное эмпирическое правило заключается в том, что ошибка меньше 1 % в определении t может привесш к 0.1%-ой ошибке в определении критической экспоненты тг- Хотя ситуация улучшается после добавления логопериодического компонента, поскольку подгонка может фиксироваться на осцилляциях, на качественном уровне проблема остается той же. Нахождение за год до критического времени соответствует ситуации, когда исследователь критических явлений будет пьггаться получить надежные оценки для экспоненты тг и f отбрасьгоая последние 15% данных, которые, конечно же, самые важные - задача становится почти невыполнимой.

Так что мы предупреждаем читателя, что игра в предсказания может оказаться рискованной и дезориентирующей: в данном случае затрагивается серьезная проблема оптимизации, трующая обширного тестирования, как на истории, так и в реальное будущее. Более того, рассмотренные здесь формулы, всего лишь приближения первого порядка, тогда как уже разрабатьгеаются новые улучшенные методы, которые здесь не опубликованы. И, наконец, всегда нужно помнить, что существование краха, отчасга, остается на воле случая! Это согласуется с моделью рационального ожидания, описанной в главе 5.

Иерархия схем предсказания

JtpocmoU экдпонтцшшмый эакдн Концепция того, что крах связан с критической точкой, предполагает вьшолнение степенного закона

log[p(r)] = A + 5(r,-0

(17)

для цены или логарифма цены. Соответствие логарифму индекса S&P500 перед крахом в октябре 1987 года дает tc =87,65, fi =0,72, / = 107, А=327иВ = -79, при использовании данных за период с 1985,7 по 1987,65. Обратите внимание, что значение 4, полученное в результате, полностью зависит от значений последних данных, использованных в подгонке. Причина в том, что информация о 4, в основном в них и содержится или зависит от ускорения в последних точках данных. В противоположность этому, логопериодические структуры содержат информацию о 4 в своих колебаниях, которые развиваются значительно раньше 4.

Все попытки сделать предсказание, используя формулу (17) были неудачными, потому что практически невозможно отличить этот закон от некритического экспоненциального роста при зашумленных данных. Плавный рост, как (17) является, как хорошо известно, очень неудачным для определения времени

Предсказание пузырей, крахов и антипузырей

4 в зашумленных временных рядах. Именно поэтому наши усилия при проведении опытов были направлены на логопериодические формулы.

Линейная логопериодинесщя формула

Здесь мы еще раз приводим уравнение (15), которое ранее использовалось для составления соответствий ценам финансоюго временного ряда в терминах логарифма цены:

\og[p{t)\ = A + B{t-tY{\ + C cos[uJ log(f - О + 0]} (18)

Оказьгеасгся, что для временной шкалы в два года или меньше, амплитуда колебаний цены недостаточно велика для выявления значительной разницы между степенью согласия для различных соответствийp(t} и hg[p(t)].

Для практической реализации подгонки такой формулы к финансовым временным рядам, очень важно особо отметить, что А, В яС вюдятся линейно в уравнение, когда четыре переменных tcfi,C0H уже определены и зафиксированы. Лучше всего определить их аналитическим путем, при помощи так назьшаемого метода вычисления наименьших квадратов и вставления их в целевую функцию, чтобы вьгеести концентрированную целевую функцию, которая зависит только orf Д <у и .

Из-за шумоюй природы данных и того факта, что мы выполняем подгонку по четырем крайне нелинейным параметрам, следует, что существует несколько локальных минимумов. Наилучшей стратегией является вьшолнение перюго поиска по сетке данных, а затем оптимизация (например Левенберга-Маркарда (Levenberg-Marquanlt)) из всех локальных оптимизаций сетки. Наилучший результат, получающийся после схождения данных, принимается за глобальный оптимум.

Априорные ограничения накладываются на значения параметров, чтобы обеспечить их достоверность. Значение экспоненты fi должно находится в интервале от О до 1, чтобы цена увеличивалась и оставалась конечной. Более узкий диапазон 0,2< у?<0,8 представляется еще более предпочтительным, для того чтобы избежать осложнений, связанных с конечными точками интервала О и 1. Вспомним, что угловая логопфиодическая частота со офеделяет коэффициент масштабирования Л последовательных временных интфвалов между локальными максимумами Чфез следующее отношение: Х= . Опьтт, накопленный в различных офаслях, а также некоторые теоретические аргументы говорят о том, что коэффициент X должен, как фавило, находиться в диапазоне 2-3. На практике же, мы использовали офаничения 5<<о<15, что соответствует 1,5<у1<3,5. Очевидно, что 4 должно быть больше, чем последняя дата выборки данных, приводимых в соответствие. Для фазы нет значимых офаничений.

Нелинейная логопериодинесщя формула

Нелинейная логопериодическая формула используется в подгонке под самые длинные финансовые временные ряды, осуждавшиеся в главах 7 и 8 [397].