10000

1000

Рис. 157. Финансовые индексы в логарифмическом масштабе как функчия времени (линейный масштаб). Два самых больших временных ряда, индекс Доу-Джонса, экстраполированный назад до 1790 и индекс S&P500 с 1871, подотаны под степенной закон A(tc -1) , показанный как непрерывные линии. Логопериодический закон (соответствующий комплексной экспоненте степенного закона) показан только для Доу-Джонса в виде прерывистой линии. Сложный анализ степенного закона предполагает резкий переход в районе 2050 [219]. EAFE - композитный индекс, фуппирующий Европу, Австралию и Дальневосточные страны. Обратите опять внимание на восходящее искривление, которое исключает показательный рост в пользу суперпоказательного ускорения.

Финансовый ряд данных вкшочает индекс DJIA с 1790 по 2000 год, S&P индекс с 1871 по 2000, а также множество региональных и глобальных индексов с 1920. DJIA бьш построен Фондом изучения циклов (http: www.cycles.org/cycles.htm). Это индекс DJIA с 1896 года, который экстраполировался назад до 1790 и далее. Другие индексы получены от Global Financial Data [159]. Эти индексы построены следующим образом. Для S&P данные с 1871 до 1918 получены от комиссии Коула (Cowles), которая ретроспективно рассчитывала данные, используя Коммерческую и Финансовую Хронику (Commercial and Financial Chronicle). С 1918 данные представляют собой композитный индекс (S&P) для акций. Другие индексы используют сведения об индексах от Global Financial Data с 1919 до 1969 и международные индексы Morgan Stanley Capital с 1970 до 2000. EAFE индекс включает Европу, Авсфалию и Дальний Восток. Индекс

Латинской Амфики включает Аргентину, Бразилию, Чили, Колумбию, Мексику, Пфу и Венесуэлу.

Демофафы обьгано строят отчеты о популяции, отфильтровьгоая данные по возрасту, стадии развития, региону и тому подобное. Группирование и управление для таких пфеменных, считается фитическим для демофафического развития и для любого надежного предсказания популяции. Здесь же мы предлагаем отличающуюся сфатегию, основанную на агрегированных данных, что оправдьгоается следующей концепцией: чтобы получить значимое предсказание на афегированном уровне, часто более уместно нзуч!т> афегированные переменные вместо локальных пфеменных, которые могут пропустить общую картину, акцентировавшись на каких-либо специфических особенностях. Вот примф из матфиаловедения - предсказание отказа гетерогенных материалов, подвфгнутых давлению, может бьтть вьтолнено двумя методами. Ученые-матфиаловеды часто анализируют в точных деталях форму волн акустической локации или других признаков повреждений, происходящих от микрофещин внуфи матфиала Однако, это очень мало помогает в предсказании полного отказа, который часто является обобщенным глобальным явлением [193], следующим из взаимодействий и взаимовлияний между многими различными микрофещинами, зарождающимися, растущими и разрушающимися в пределах матфиала Этот примф, действительно, показьгоает, что обьединение всей акустической локации в единственную афегированную пфеменную значительно улучшает предсказание [215]. Точно так же экономическое и финансовое развитие США, Европы и других частей мира взаимозависимо из-за существования нескольких механизмов соприкосновения (обмен товфами, услугами, передача научных исследований, иммифация и т.д.)

Более бысфЫЙ, чем экспоненциальный рост, наблюдаемый на Рис. 156 и Рис. 157 соответствует непостоянным темпам роста, которые увеличиваются пропорционально населению или размерам экономических факторов.

Предположим, напримф, что темп роста населения удваивается, когда население также удваивается. Для простоты, мы рассмафиваем дисфетные ишервалы времени следующим образом. Начиная с популяции в 1000 человек, мы предполагаем, что население растет с постоянной скоростью 1% в год, пока не удвоится. Мы оцениваем время удвоения как пропорциональное темпу роста, то есть, приблизительно, 1/1% = 1/0,01 = 100 лет. В действительности, существует коэффициент мультипликативной коррекции, равный 1п2 = 0,69, поэтому время удвоения равно 1п2/1% = 69 лет. Но мы опускаем этот фактор пропорциональности 1п2 = 0,69 ради простоты усвоения. Учет этого фактора лишь умножает все нижеуказанные интервалы времени на 0,69, но не меняет вьшодов. Таким образом, при такой аппроксимации, первое время удвоения будет равно одному столетию.

Когда население достигает 2000, мы предполагаем, что темп роста удваивается до 2% и остается фиксироватшым, пока население снова не удваивается, достигая 4000. Это занимает лишь пятьдесят лет с таким 2% темпом роста. Когда население достигает 4000, темп роста удваивается до 4%. Поэтому фемя удвоения населения, приблизительно, делится на два, до двадцати пяти лет и сценарий продолжается с удвоением темпа роста, каждый раз, как население удваивается. Так как время удвоения приблизительно делится на два на каждом

шаге, мы получаем следующую последовательность (время = О, население = 1000, темп роста = 1%), (время = 100, население = 2000, темп роста = 2%), (время = 150, население = 4000, темп роста = 4%), (время = 175, население = 8000, темп роста = 8%), и так далее. Мы наблюдаем, что интфвал времени, необходимый для удвоения населения сжимается очень бысфо с фактором 2 фи каждом шаге. Таким же образом, как 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1 / 16 +... = 1, что бьшо увековечено древними феками, как парадокс Зенона, бесконечная последовательность удвоения, таким образом, занимает конечное время, и популящтя достигает бесконечности за конечное фитическое время , фиблизительно равное 100 + 50 + 25 +... = 200 (сфогое математическое выражение требует формулировки понятия неффьгоного времени, что не изменяет качественного содфжания фимфа). Спонтанная сингулфность бьша создана увеличивающимся темпом роста!

Это весьма общий процесс, который применяется, как только темп роста должен быть умножен на некоторый коэффициент, больший, чем 1, в частности, когда популяция умножается на некоторую константу, также большую, чем 1. Такие спонтанные сингулярности весьма обычны в математических описаниях естественных и социальных явлений, даже если они часто выглядят, как чудовища. Они найдены во многих физических и природных системах. Например - потоки жидкостей, формирование черных дыр, разрывы структур, отказы материалов в моделях больших землетрясений и крахи финансовых рьшков, как мы видели в предыдущих главах. Математика сингулярностей обычно применяется в физике фазовых переходов, для описания превращения льда в воду или перехода магнита в размагниченное состояние при росте температуры.

Эмпфическое офеделение существования сингулфности в динамике населетшя или экономических индексов опирается на способ, при которым они увеличиваются до фитического момента времени. Оказывается, они это делают в самоподобной или фрактальной манере: для данного фиксированного софащения дистанции до времени сингулфности, популяция /множается на данный фиксированный фактор. Повторение софащения, чтобы фиблизиться к сингулярности ведет к тому же самому умножению популяции на тот же самый фактор. Эти свойства описываются в соответствии с математическим законом, называемьм степенным и уже обсуждались в федьщущих главах. Степенные законы описьгоают самоподобные геомефические сфуктуры фракталов. Как мы видели в главе 6, фракталы - это геомефические обьекты, имеющие сфуктуру на всех масштабах, и которые описьгоают множество комплексных систем, типа изящно ифезанного побережья Бретани или Норвегии, иррегулфную повфхность облаков или феходяшую сфуктуру речной дельты. Экспонента степенного закона - так назьгоаемое фрактальная размерность, которая в данном контексте, количественно офеделяет фавильную множественную (мультипликативную) Сфуктуру, пpoявJTяющyюcя на популяции, на финансовых индексах и во временном развитии до момента сингулфности.

Если изобразить на фафике логарифм популяции как функцию логфифма времени, начиная от сингулфности, то степенной закон будет изображен фямой линией. Это показано на Рис. 158 и Рис. 159 для мирового населения, мирового

ВНП и финансовых индексов, показанных на Рис. 156 и Рис. 157. Так как степенные законы, характфизующие население и экономический рост вьфажены как функция фемени до сингулфности, то значения должно выбфаться для этого фитического времени. На Рис. 158 используется 2050 год, котфый близок к значению, полученному из более сложного статистического анализа, обсуждаемого ниже (см. также [219]). Для финансовых индексов, удаление федней инфляции в 4% (или её подобной величины) качественно не меняет результаты, но связанные с ней результаты будут количественно ненадежны, поскольку инфляция значительно изменяется в течение времени, причем с количественно эти изменения фудно поддаются оценке. Пофавка на инфляцию означает вычитание линейного значения на фафике, где логарифм цены федставлен как функция времени. Таким образом, это не имеет финципиального воздействия на существование зарегисффованного нелинейного восходящего исфивления, квалифитщруемого как ускоренный супер-экпоненциальный процесс.

I 2 с .2

World population World GDP

а. О

о о -

tc-t

1000

Рис. 158. IVInpoBoe население и мировой ВНП (в логарифмическом масштабе) как функция времени до критического момента tc = 2050 (в логарифмическом масштабе), при этом время течет справа налево. Прямые линии - наилучшее совпадение данных со степенными законами (см. текст) и предполагают резкий переход в 2050 году,

Проблема удаления из тренда инфляции, чтобы получить постоянную стоимость доллара и индексов: Для Соединенных Штатов общефинято, что фактор инфляции, конвертирующий доллфы США конца девятнадцатого столетия в конец двадцатого столетия - приблизительно равен 15: то есть 1$ в 1870 равен, фиблизительно, 15$ в 1995-ом. Это немного, по фавнению с Францией, нафимер, где конверсионный фактор -уже равен 20, для конвертирования франков 1959 года во франки 1995-го. Примф учета инфляции индекса DJIA с 1885 можно найти в [378]. Преобразование выполнено с использованием CPI (consumer price index -индекс пофебительских цен). Проблема состоит в том, что офеделение и способ вычисления CPI сильно изменились со времени его создания. При его

появлении, это был индекс оптовых цен - довольно простой измеритель. Другой способ измерить инфляцию состоит в том, чтобы использовать стоимость золота в США. Доллары (приблизительно 3(Ю$ за унцию в настоящее время, по фавнению с, приблизительно, 20$ в конце девятнадцатого столетия, также дают фактор 15, упоминавпшйся вьппе). Существует множество методов учета (дефендирования) инфляции и все они имеют преимущества и недостатки, которых мы хотели бы избежать. Инфляция в Соединенных Штатах прошла несколько стадий:

1. До 1914, инфляция в феднем бьша по существу нулевой, кроме как в течение фажданской войны (знаменитые зеленые 6aKCbi greenbacks ).

2. С 1914 до 1921, бьша высокая инфляция, сопровождаемая дефляцией в 1921, затем снова высокая инфляция в течение депрессии 1929-1932, которая привела CPI обратно к его уровню до 1914 года

З.С 1933 до настоящего времени, были некоторые сильные инфляционные пфиоды, связанные со Второй Мировой войной. Холодной войной. Корейской войной. Вьетнамской войной, а также с нефтяными пофясениями семидесятых.

tc-t

Рис. 159. Логарифм финансовых индексов как функция логарифма времени до фитического момента tc = 2050, при этом время течет справа налево. Прямые линии - наилучшее совпадение данных со степенными законами (см. текст) и предполагает резкий переход в 2050 году.

2050: конец эры роста?

Таким образом, коэффициент 15 приблизительно соответствует среднему числу темпа ежегодной инфляции в 4% с 1933. Мы представляем на Рис. 160 долгосрочную эволюцию долга амфиканского федфального правительства. Кажется, существует соотношение (с фактором 2, приблизительно) между ростом этого долга и темпом инфляции. Это соотношение особенно сильно во времена войн, когда инфляция галопирует и долг накапливается с большой скоростью. Предполагается, что инфляция - это простой способ для правительства увеличить налоговое бремя для финансирования свои расходов. Из-за сложносга учета этих неустойчивых инфляционных пфиодов, мы не корректировали наши данные на инфляцию.

1е+13

1е+12

1е+11

5? 1е+10

S 1е+09 О

= 1е+08 л

1е+07

1е+0б

100000

10000

1750

1800

1850

1900 Date

1950

2000

2050

Рис. 160. Долг американского федерального правительства, начиная с войны за независимость, в логарифмическом масштабе как функция времени (линейный масштаб). Примечание: 1е+09 соответствует $1 миллиарду, а 1е+12 соответствует 1 филлиону долларов. В 2000 году американский федеральный правительственный долг был, приблизительно, равен $5,6 филлиона. Прямая линия соответствует среднему показательному закону с постоянным темпом роста 8.6% в год. Заметим, что американские войны совпадают с ростом долга во много раз. Войны США, кажется, являются главными фупномасштабными особенностями, объясняющими рост долга. Данные получены от Бюро Государственного долга (http: www.publicdebLtreas.gov/opd/opd.htm#hhistory). Рисунок исследован и подготовлен Йохансеном (A.Johansen).