Глава б

Фрактальная размерность

Страница, которую вы читаете, представляет собой трехмерный кусок бумаги. Предположим, что она не имеет толщины, а в действительности двумерна, т. е. является куском евклидовой плоскости. Если бы вы вырвали этот двумерный лист из книги и смяли в комок, то этот объем бумаги не был бы уже двумерным, но и не был бы в точности трехмерным. Бумага была бы вся в складках, и ее размерность была бы меньше трех. Чем больше спрессовывать бумагу, тем будет ближе ее размерность к трем, т. е. к размерности сплошного тела. Только если бы исходная страница бьгла изготовлена из пластичного материала вроде глины, она, будучи сжата в комок, могла бы спрессоваться до истинно трехмерного тела. Но бумага всегда имеет складки.

Бумажный комок имеет дробную, или фрактальную , размерность. Она не является целочисленной. Евклидова геометрия с ее чистыми гладкими формами не может описать размерность бумажного шара. Он не может быть представлен с помощью евклидовой геометрии кроме как посредством большого количества линейных интерполяций. В терминах математического анализа поверхность такого шара не диффсреххцируема.

Мы склонны думать обо всех объектах, которые имеют глубину, как о трехмерных . С точки зрегшя математики это неверно. Линия, прочерченная в трехмерном пространстве, имеет глубину, но эта линия остается одномерной. Истинно трехмерный объект - сплошное тело, не имеющее отверстий или трещин на своей поверхности. Вот почему представление естественных форм с помощью евклидовой геометрии является столь трудным. Большинство реальных объектов не оплошны в классическом, евклидовом смысле они имеют бреши й полости. Они просто располагаются в трехмерном пространстве.

Неспособность евклидовой геометрии описать большинство естественных объектов ограничивает нашу способность

понять то, как объект устроен. Для случая временных рядов классическая геометрия не может оказать существенной помощи в понимании происхождения их структуры, если только это не случайное блуждание - система настолько сложная, что предсказать ее поведение невозможно. В терминах статистики число степеней свободы, или факторов влияния на систему очень высоко.

фрактальная размерность, которая описывает, как объект (или временной ряд) заполняет свое пространство, является продуктом всех тех факторов влияния на систему, которые и порождают этот объект (или временной ряд).

Если камень случайным образом бомбардируется равномерно со всех сторон потоками воды, то по прошествии тысячелетия или двух он станет совершенно круглым. Каждая часть камня будет подвергнута равномерной эрозии. Количество потоков воды (или количество степеней свободы) может быть бесконечным.

Если количество таких потоков невелико, камень не станет гладким шаром. Если камень подвергается ударам воды только с некоторых сторон, он не станет круглым. Если будут три потока, то в камне окажутся три впадины. Если один поток будет интенсивнее других, то одна впадина будет глубже других.

В результате камень, подвергающийся эрозии большим количеством равной силы потоков, будет гладким, симметричным и - евклидовым. Камень со смещением в равномерности воздействий будет шероховатым и несимметричным.

Временной ряд будет только тогда случаен, когда он является следствием больпюго ко.пичества равновероятных событий. В терминах статистики - он имеет большое количество степеней свободы. Неслучайный временной ряд будет отражать неслучайную природу влияний. Скачки данных будут соответствовать скачкам влияющих факторов, отражая при-УЩую им корреляцию. Иными словами, временной ряд будет Фракталом.

Обычно мы помещаем объект в пространство, большее Чем фрактальная размерность этого объекта. Мы полагаем, что шарик скомканной бумаги является трехмерным, хотя он

заполняет все отведенное ему трехмерное пространство.

о пространство, рассматриваемое как объект, называется

верностью вложения, или топологической размерностью, сгда объекты имеют размерность между двумя и тремя, мы

склонны думать о них как о трехмерных. Примерами могут служить горы и облака.

Мы думаем о береговой линии как о двумерной, в то время как в действительности ее размерность меньше. Временной ряд относится к той же категории объектов. Только случайный временной ряд, которьгй бы сплошь покрыл плоскость, был бы истинно двумерным.

Одна из характеристик фрактальных объектов состоит в том, что они оставляют себе свою собственную размерность, будучи помеш,ены в пространство размерности, больше чем их фрактальная размерность. Случайные распределения (белый шум) не имеют этой характеристики. Белый шум заполняет свое пространство подобно тому, как газ заполняет объем. Если определенное количество газа поместить в контейнер большего объема, газ просто растечется в большем пространстве, поскольку молекулы газа ничто не связывает между собой. С другой стороны, твердое тело имеет молекулы, сце-пленньге друг с другом. Аналогично этому во фрактальном временном ряде положения точек определены корреляциями, но таких корреляций не существует в случайном ряде. Во фрактале, подобном треугольнику Серпинского, каждая точка коррелирована с точкой, нанесенной до нее. Если мьг уче-личим размерность пространства вложения треугольника, то корреляции останутся неизменными и будут стягивать точки в группы. Размерность треугольника останется неизменной, так же как осталась бы неизменной размерность временнг>го ряда.

В случайном временном ряде нет корреляций точек. Ничто не улержирярт точки в том же соселстве. сохраняя их размерность. Вместо того они целиком заполняют отведенное им пространство.

Фрактальная размерность определяется тем, как объект или временной ряд заполняет пространство. Фракта..1Ь-ный объект заполняет пространство неравномерно, поскольку его части зависимы, или коррелированы. Чтобы определить фрактальную размерность, мы должны определить, гсаким образом объект группируется в единое целое в своем ni>o-странстве.

Существует много способов расчета размерности, но нее они включают в себя подсчет объема или площади фрактгьчь-ной формы и того, как она изменяется в масштабах в тоМ случае, если этот объем или форма увеличиваются.