1 1.2 1.4 1.8 1.В 2 2.2 2.4 2.6

1од{соличвство наблюдений)

Рис. 7.7. Тест на перемешивание для Д/5-анализа: фрактальное броуновское движение. Неперемешанные данные: Я = 0.86, перемешанные данные: Я = 0.52.

тот же ряд - перемешанный. Исходный ряд дал результативную оценку Я = 0.87, перемешанный - Я = 0.52. Такое падение величины Я говорит о том, что при перемешивании была разрушена структура процесса. Перемешанный ряд остался не нпрл/гягтьно ряггтпегтеггенным. НО пропесс перемешивания сделал данные независимыми. Это доказывает утверждение Мандельброта о том, что Я/5-анализ работоспособен безотносительно к распределению временного ряда.

Д/5-АНАЛИЗ ЦИКЛОВ СОЛНЕЧНЫХ ПЯТЕН

Перед тем как в следующей главе мы начнем рассматривать рынки капитала, будет полезным применить Я/5-анализ к какому-либо временному ряду реальных данных из области природных систем.

Возможно, наиболее широко известной естественной системой с непериодическим циклом являются циклы солнечны пятен. Данные о количестве солнечных пятен записывают-

Д/5-анализ циклов солнечных пятен 103

ся с середины восемнадцатого века, когда Вольф завел порядок ежедневных наблюдений солнечного диска и записи количества солнечных пятен на его поверхности. Когда он умер. Цюрихская обсерватория продолжила эту практику, и делает это по сей день. По методике Вольфа совокупность нескольких близко расположенных пятен считается одним большим пятном. Таким образом, пять пятен вчера могут стать одним большим пятном сегодня. В сочетании с ошибками, присущими ручным процедурам, процесс такого подсчета ведет к определенной измерительной погрешности. К тому же количество пятен имеет в высшей степени асимметричное распределение: оно может почти приближаться к нулю (и это случалось неоднократно), но его максимум может быть сколь угодно велик. Циклы количества солнечных пятен считаются непериодическими со средней продолжительностью в 11 лет.

Солнечные пятна являют собой временной ряд, весьма подходящий для Д/б-анализа ввиду того, что мы имеем запись их длительной истории. В моей библиотеке есть старая книга Харлана Тру Стетсона (Harlan Тле Stetson) Солнечные пятна и их эффекты , опубликованная в 1938 г. Она содержит таблицу месячных данных о солнечных пятнах с января 1749 г. по декабрь 1937 г. Мандельброт и Уоллис (Mandelbrot, Wallis, 1969в), а также Херст уже проделали аналогичную работу. Однако полезно ввести некоторые изменения в методику в соответствии с нашими предыдущими исследованиями. Прошу заметить, что я не устанавливаю какой-либо связи между циклом солнечных пятен и циклами рьшков капитала или экономики в целом. Я анализирую цикл солнечных пятен как таковой

На рис. 7.8 представлены месячные данные о количестве Солнечных пятен как временной ряд. Заметим, что хотя эти Циклы видны невооруженным глазом, временной ряд носит скачкообразный характер. Д/б-анализ применен к логарифму разности количества пятен от месяца к месяцу.

На рис. 7.9 в двойной логарифмической шкале построена кривая R/S как функция от времени. По ней можно видеть, Что периоды, короче 12-13 лет, имеют показатель Херста, рав-Пьгй 0.55. Факт отсутствия больших отклонений говорит о ерсистентном поведении ряда. Наконец, наклон кривой рез-падает, свидетельствуя о том, что эффект долговременной Мяти диссипирует через 10-13 лет. Это приблизительно создает с 11-летней оценкой цикла, которая принята в науке.

17S0 I 1770 I 1790 I 1виП 1830 I lesO 1 oJ 1Ю0 l9lOJ 1930 1760 1780 1800 1820 1840 1880 1880 1900 1920

Годы

Рис. 7.8. Месячные данные о количестве солнечных пятен по Уол-фу. Январь 1749-декабрь 1937 гг.

1.7 1.9 Z1 Z3 2.S

иод(количество месяцев)

Рис. 7.9

печных

. jR/5-анализ: месячные данные Уолфа о количестве соЛ-пятен. Январь 1749 -декабрь 1937 гг.