Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Рынок капитала 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86

Выводы 129

(APT), ценовая модель Блека-Шоулса и другие численные модели, которые подразумевают нормальное распределение и/или конечную дисперсию.

Почему же эти модели терпят неудачу? Они упрощают реальность, предполагая случайное поведение, игнорируют влияние времени на принятие решений. Этим предположением о случайности проблема упрощается и делается изящной - она может быть оптимизирована в целях получения единственного решения. Используя случайное блуждание, можно получить оптимальный портфель , истинную величину , справедливую цену .

Фрактальный анализ предлагает для моделирования более сложную математику, но его результаты гораздо ближе к практическому опыту. Фрактальная структура рьшков капитала порождает циклы, тренды и множество возможных справедливых цен . Она привносит качества, делающие рынки капитала интересными, в том числе зависимость от человеческих решений, и делает возможным их измерение в количественном аспекте. Фрактальная статистика указывает на беспорядочность и сложность жизни, но многое таит в себе.



Глава 9

Фрактальная статистика

в этой главе мы рассмотрим различие между фрактальным и нормальным выроятностными распределениями. В частности, обобщим математику, лежащую в их основе, и покажем, что нормальная форма является частным случаем фрактальных распределений. С точки зрения математического аппарата данная глава, возможно, не покажется интересной для всех читателей. Однако, ввиду того что фрактальные распределения приобретают большое значение в современных рьшках капитала, как минимум три последних раздела и заключение главы рекомендуем внимательно изучить.

ПАРЕТО (ФРАКТАЛЬНЫЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Фрактальные распределения известны достаточно давно. В экономической .литературе они носят названия Парето , или Парето-Леви , или устойчивые паретовские распределения. Свойства этих распределений первоначально были изучены Леви и опубликованы в 1925 г. Его работа основана, в свою очередь, на наблюдениях Парето (1897), касающихся распределения доходов. Последним было обнаружено, что доход хорошо аппроксимируется логнормальным распределением, за исключением приблизительно трех процентов наивысших индивидуальных доходов. На этом участке доход начинает следовать обратному степенному закону, что дает утолщение хвоста. Грубо говоря, вероятность того, что один человек в десять раз богаче другого, подчиняется нормальному распределению, но вероятность стократного превышения благосостояния оказывается намного больше той, что предсказывается нормальным распределением. Парето предположил, что этот утолщенный хвост, вероятно, возникает потому, что богатый может более эффективно умножать свое богатство, чеМ средний индивид, чтобы достичь более высокого благосостояния и более высоких доходов. Похожий обратно-степенной закон был найден Ципфом (G. К .Zipf, 1948) для частот исполь-



зуемых слов. Ципф обнаружил, что длинные слова используются реже, чем короткие. Лотка (А. J. Lotka, 1926) приводит примеры обратно-степенных законов из области социологии, один из них - публикации научных статей в академических журналах. Чем больше статей опубликовал академик, тем более вероятна его публикация. Это происходит потому, что интенсивность публикаций подкрепляется учаш,имися студентами: большинство хорошо известных и старых членов академии могут быть соавторами, тем самым увеличивая свою продуктивность. Во всех перечисленных случаях утолш,епные хвосты несут на себе влияние обратной связи, которая увеличивает продукцию - в каких бы единицах она ни измерялась. Эффект обратной связи усиливает событие и делает хвосты даже длиннее. Леви взял эти толстохвостые распределения и обобнщл все вероятностные распределения таким образом, чтобы включить их в общую картину.

Перед тем как приступить к изучению фрактальных распределений, рассмотрим некоторые характеристики нормальных распределений. Большинство из нас так или иначе имели дело с нормальным распределением. Хорошо знакомая изяш,-ной формы кривая широко используется - достаточно того, что в некотором смысле все мы были проранжировапы на кривой еще в школе. Эта кривая описывается формулой, и можно записать логарифм характеристической функции нормального распределения случайной переменной t:

/ 2 \

log/(f) = i*/i*i- (yj (9.1)

где \1 ~ среднее, - дисперсия.

Для этого стандартного нормального распределения

среднее равно нулю и стандартное отклонение (квадратный

корень из дисперсии) равен единице. Поскольку нормальное

Распределение применяется, когда t является независимой,

Идентично распределенной (IID) случайной переменной, оно

Рименимо к броуновскому движению и случайным блужданиям.

том* установлено в гл. 2, Башелье первым выдвинул идею о Ни спекулятивные рынки следуют случайным блужда-cor могут быть смоделированы как игра случая. Гаус-Ру гипотеза Башелье продолжает приниматься на ве- смотря на то, что очевидный эмпирический факт ука-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86