Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Рынок капитала 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86

зывает на аномалию отличия от случайных блужданий -об этом говорилось в гл. 3. В частности, частотное распределение прибыли постоянно проявляет большие отклонения, чем это должно было бы быть при наблюдениях в окрестности средней величины (см. рис. 3.1). Это распределение имеет более толстые хвосты и выше пик, чем у нормального распределения. Несмотря на это такое распределение часто описывается как приблизительно нормальное .

Это толстохвостое , островершинное распределение является характерной формой распределения Парето. Леви обобщил характеристическую функцию вероятностных распределений следующей достаточно сложной формулой:

bg(/(i)) =

= г * а * i - 7 * \t\ * (1 + г * /3 * {t/\t\) *tg(a* . (9.2)

Эта формула имеет четыре характеристических параметра: а, /3, S, 7; здесь J -локальный параметр среднего, 7 -масштабирующий параметр подгонки, например разница между дневными и недельными данными, /3 измеряет асимметрию и может изменяться от -1 до +1- Когда (3 = 0, распределение симметрично. Когда /3 = +1 распределение имеет тсш-стый хвост справа, или скошено вправо. Степень правого скоса увеличивается при приближении /3 к 4-1. Обратное случается при /3 < 0; а измеряет островершинность распределения, так же как и толщину хвостов; а может изменяться в диапазоне величин от О до 2 включительно. Только при а = 2 это рягггрелелеиие таповится эквивалентны норлальном Полагая в (9.2) 0! = 2, /3 = 0, 7 = 1 и(5 = 1, получаем уравнение (9.1) - характеристическую функцию нормального распределения. Гипотеза эффективного рынка (ЕМН) предполагает, в сущности, что а всегда должно быть равно 2. Гипотеза фрактального рьшка (FMH) утверждает, что а может изменяться в диапазоне от 1 до 2. В этом состоит основное различие между двумя гипотезами рынка. Однако изменение величины драматически изменяет характеристики временных рядов.

Мы полагаем распределение Парето фрактальным, потому что оно статистически самоподобно по отношению к времени-Если распределение дневных цен имеет среднюю величину и а = а, то распределение пятидневных прибылей должно иметь среднее значение 5 * m и при этом должно остаться



д =: а. Будучи выполненной, масштабная временная подгонка должна оставить форму вероятностного распределения временного ряда без изменения. Такой временной ряд называется масштабно-инвариантным. Подобное описание применимо, если а = 2 и распределение является нормальным, потому что нормальное распределение есть особый случай в семействе фрактальных распределений. Однако при а, не равном 2 характеристики распределения изменяются.

Во-первых, когда 1 < а < 2, дисперсия становится неопределенной, или бесконечной. Дисперсия конечна и устойчива только при а = 2. Следовательно, дисперсия выборки является важной информацией только в том случае, если система представляет собой случайное блуждание. С другой стороны, бесконечная дисперсия возможна и, быть может, типична. Если а не равно 2, дисперсия выборки как мера рассеяния или риска практически не несет никакого смысла.

Если О < а < 1, то тогда также не суш;ествует устойчивого среднего. Альфа редко лежит в этом диапазоне, но несколько позже мы столкнемся с одним таким примером. Однако при 1 < а < 2 имеется устойчивая средняя величина. Нецелые альфа в этом диапазоне соответствуют смещенным броуновским движениям, которые характеризуются долговременными корреляциями и статистическим самоподобием. Эти движения являются фракталами. В дополнение к этому а есть фрактальная размерность пространства вероятностей временного ряда и

а = 1/Я, (9.3)

где - показатель Херста.

Заметим, что, являясь фрактальной размерностью, а отличается от фрактальной размерности D в уравнении (7.7). D бсть фрактальная размерность временного следа, в то время Жак альфа есть фрактальная размерность пространства вероятностей. D измеряет зазубренность временного ряда, а - Толщину хвостов в функции плотности вероятности.

фрактальные распределения имеют две другие интерес-д характеристики. Мандельброт назвал первую Иосиф-Ффектом . Как показано раньше, это название обязано тен-g нции фрактальных распределений иметь тренды и циклы. Рблейской истории рассказывается как Иосиф истолковал

фараона: семь лет изобилия последуют за семью годами Улода.



Вторую характеристику Мандельброт назвал Ной-эффект - по имени героя библейского предания о Всемирном потопе. В технической интерпретации это синдром бесконечной дисперсии. Такие системы склонны к внезапным дра-матическим переменам. В нормальном распределении большие изменения случаются по причине большого количества малых изменений. Изменение цен полагается непрерывным. Это предположение о непрерьшности ценообразования делает страхование портфеля возможной практической стратегией денежного управления. Идея состояла в том, что, используя модель расчета цен опционов Блэка-Шоулса (или какую-то ее разновидность), инвестор мог искусственно повторять выбор, непрерывно балансируя между рисковыми активами и наличными деньгами. Этот метод правдоподобен постольку, поскольку ценообразование остается непрерывным, или по крайней мере близко к этому. Однако в случае фрактального распределения большие перемены происходят как следствия малого количества больших изменений. Большие изменения цен могут быть разрывными и внезапными. Фрактальное распределение на фондовом рынке могло бы объяснить, почему октябрьские события 1987, или 1978, или 1929 годов вообще случились. На этих рьшках недостаток ликвидности стал причиной внезапного и прерывистого ценообразования, как это и предсказывает фрактальная модель. Мы воочию увидели в гл. 8, что рынки капитала имеют фрактальные распределения.

ПОТЕРЯВШАЯСЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

Мандельброт предположил, что спекулятивные рынки являют собой фракталы задолго до того, как развил свою фрактальную геометрию. Немалую часть своей жизни Манделы брот посвятил изучению давно забытых математических про* селков, при этом им было найдено множество примеров неслу* чайного скейлинга. По заключению Мандельброта, распр ления Парето были еще одним примером скейлинга, на этоГ раз в экономике, а не в природе. В начале 60-х годов Май дельброт выдвигал аргументы в пользу распределений с бес конечной дисперсией, но проиграл этот первый раунд гиЛ* тезе эффективного рынка (ЕМН). Последняя была изяЩйб и легче для понимания академическим сообществом. Рис! определенный как волатильность, был более чистой кондеЯ



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86