Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Рынок капитала 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86


-0.1 -ОЛ -0.4 -ОЛ о ОЛ 0.4 О.в 0.1

Рис. 11.26. Аттрактор - предельный цикл. Фазовый портрет.

временные ряды характеризуются непериодическими циклами (т. е. не имеющими характеристической длины или временного масштаба). Такие непериодические циклы имеют место в нелинейных динамических системах.

Они доставляют нам последний тип аттрактора - хаотический, или странный аттрактор. Предположим, что мы случайным образом изменяем сообгааемую энергию, по время между толчками остается одинаковым. Влияние энергии будет теперь переменным и связано с силой предыдущего толчка, несмотря на то, что величины толчков относительно независимы. Поскольку мы сообщаем толчки энергии, случайные по своей силе, но через равные промежутки времени, положение и скорость маятника будут каждый раз отличаться. Если маятнику придать большую энергию первый раз, то во время второго толчка маятник может направляться уже вниз. Если этот второй толчок будет мал, то маятник может двигаться вверх, когда его настигнет третий толчок, который приведет к замедлению маятника. Несмотря на то, что мы продолжаем сообщать маятнику толчки энергии с регулярными интерв лами, его фазовый портрет будет отличаться в каждом цикле-



Цикл от вершины до вершины качания характеризует собой орбиту. Поскольку маятник всякий раз не может завершить цикл, его фазовый портрет будет состоять из орбит, которые никогда не будут одинаковыми и не будут периодическими. Такой фазовый портрет выглядит случайным и хаотическим, но он ограничен определенными пределами (максимальной амплитудой маятника) и всегда будет враш;аться по часовой стрелке, хотя размеры орбит и время их прохождения будут разными. Это хаотический, или странный, аттрактор . Поскольку хаотические аттракторы к тому же имеют фрактальную размерность (как мы увидим позже), Мандельброт называет их фрактальные аттракторы - это название лучше нежели странные , но оно не привилось. Странный аттрактор заключает в себе все возможности. Равновесие становится областью в фазовом пространстве - ограниченной областью с бесконечным количеством решений, подобно тому как это имеет место в треугольнике Серпинского и снежинке Кох.

Такое фазовое пространство дает нам картину возможностей системы. Для систем, уравнения которых известны, сконструировать фазовое пространство несложно. Если же природа системы неизвестна, а наблюдается только некий эффект, то фазовое пространство может быть восстановлено по данным. (Мы отложим обсуждение этой возможности до гл. 12.) В следуюш;ем разделе мы рассмотрим низкоразмерные системы с известными уравнениями. Они позволят нам изучить характеристики этого типа уравнений, перед тем как обратиться к временным рядам.

ОТОБРАЖЕНИЕ ХЕНОНА

Аттрактор Хенона (Непоп, 1976) является хорошим примером двумерного итеративного отображения. Его уравнения сами по себе просты;

xt+i = l + yt-a*x{, yt+i=b*xt. (11.1)

Когда а = -f-1.40 и 6 = 0.30, мы получаем хаотическое дви-ние. На рис. 11.3 величины х иу представлены как времен-ряды. Хаотичность движения в обоих рядах видна невооруженным глазом. Фазовые портреты переменных показаны

рис. 11.4 . Эти структуры уже определенно не являются




Количество итераций Рис. 11.3. Аттрактор Хенона. Временные ряды по х и по у.

0.S 0.4 0.3 0.2 0.1

-0.1 -ОЛ -0.3 -0.4 -0.S

-1-1 1 1-1-

-1-1 1 .J-1-1 1--

-1.4

-О.б -0.2

Рис. 11.4. Аттрактор Хенона. Фазовый портрет; а = -1.4, 6 = О-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86