пространстве орбита маятника характеризуется замкнутым, или предельным, циклом. Если бы мы записали воздействие при ударе по столу, мы смогли бы увидеть расхождение орбит в широком диапазоне перед тем как устанавливается новый предельный цикл. Отрицательный показатель Ляпунова измеряет количество орбит, или время, необходимое фазовой кривой для возврата на ее аттрактор, который в данном случае есть предельный цикл.

Показатели Ляпунова позволяют классифицировать аттракторы. Точечные аттракторы всегда конвергируют к фиксированной точке. Следовательно, трехмерный точечный аттрактор характеризуется тремя отрицательными показателями Ляпунова (-,-,-). Все три размерности сжимаются в фиксированную точку.

Трехмерные предельные циклы имеют два отрицательных показателя и один равный нулю (О, -, -). Предельные циклы имеют две размерности, которые конвергируют одна в другую, и одну размерность, в которой не происходит изменений в относительных положениях точек. Это порождает замкнутые орбиты.

Наконец, трехмерные странные аттракторы имеют один положительный показатель, один отрицательный и один равный нулю (-f, О, -). Положительный показатель указывает на чувствительную зависимость от начальных условий, или тенденцию при малых изменениях начальных устювий сильно изменять будущее поведение. Отрицательный показатель заставляет дивергирующие точки оставаться в области аттрактора. В случае странного аттрактора равновесие определяется тем. как далеко motvt ливергировать значения, прежле чем вернуться к умеренным пределам. Одно из возможных объяснений странного аттрактора на рынках капитала, например, состоит в том, что напряжение порождается психологическими или техническими факторами, но истинная стоимость возвращает цены в разумный диапазон.

Мы измеряем показатели Ляпунова в фазовом пространстве посредством измерения того, как величина сферы изменяется во времени. Если мы начинаем двигаться в трехмерном фазовом пространстве, то сфера, заключающая в себе близлежащие точки ненамного отличающихся начальных условий,

временем становится эллипсоидом. По прошествии доста-очно продолжительного времени он будет растягиваться и *Разовывать складки -так сильно, что его можно принять

за чью-нибудь тонкую кишку. Экспоненциальная скорость роста объема сферы является мерой показателя Ляпунова. Формальное уравнение для г-го показателя Ляпунова {Li) для г-ой размерности {pi{t)) можно записать так:

Li=Limioo(lA)log2(). (11.3)

Продольный размер этой сферы растет со скоростью 2*.

Плош,адь первых двух размерностей растет соответственно со скоростью 2(1+2*. Объем трехмерной сферы увеличивается со скоростью

2iLi+L2+L3)t Для более высоких размерностей выражение для роста записывается аналогичным образом.

Уолф и др. (Wolf, et al., 1985) опубликовали на Фортране программу расчета всего спектра показателей Ляпунова для случая, когда известны уравнения движения. С помош,ью этой программы были найдены показатели Ляпунова для аттрактора Хенона: 0.42, -1.6 бит на итерацию при а = -1.4, 6 = 0.30.

Этот результат означает, что мы теряем 0.42 бита предсказательной мощности при каждой итерации. Следовательно, если мы измеряем текущие условия с точностью до 2 битов, то потеряем всю предсказательную мощность при движении во времени за 4.8 итерации (4.8 = 2/0.42).

Что мы понимаем под битами информации ? Показатели Ляпунова были изначально предназначены для теории ин-фпрлтяттии ТТТеннпня ПРбЗ) Теория информяпии использовалась для измерения эффективности компьютеров. Поскольку большинство компьютеров - цифровые, вводимые данные записываются и хранятся в памяти в бинарном формате (в виде нулей и единиц). Эти бинарные цифры называются битами. Именно ввиду их бипарности уравнение (11.3) использует логарифм по основанию 2, а пе натуральный. Шенпон развил теорию связи для измерения неопределености получения корректного сообщения. Он использовал термодинамическую концепцию энтропии и измерял энтропию в битах. Чем больше битов информации поступает в систему, тем выше энтропия, или неопределенность системы. Я предпочитаю пользовать не энтропию, а предсказательную способность она более релевантна при анализе рынков капитала.

Биты точности являются мерой нашего знания о текущих условиях. Предположим, что наибольший положительный показатель Ляпунова был 0.05 бит в день (во временных рядах мы используем биты/день или биты/месяц чаще, чем биты/итерация или биты/орбита ). Это означает, что мы теряем 0.05 бит предсказательной мощности ежедневно при движении вперед. Следовательно, если мы можем измерить текущие условия с точностью до одного бита, то эта информация станет бесполезной после 1/0.05, или 20 дней. Если бы мы знали точно, какой собирается быть прибыль сегодняшнего фондового рынка, мы имели бы 0% точности предсказания прибыли через 20 дней. С другой стороны, воздействие одного бита информации диссипирует через 20 дней, и система далее не помнит его.

Известно, что наибольшие показатели Ляпунова говорят нам о том, насколько относительны наши предсказания на будущий период времени. Можно оценить надежность только такой системы, уравнения движения которой известны. Но в реальной жизни мы никогда не знаем всех переменных, с определенностью включенных в систему, и опираемся только на уравнения движения.

В следующей главе мы применим эти идеи о конструкции и анализе фазового пространства к временным рядам.