Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Рынок капитала 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [ 54 ] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86

Глава 12

Динамический анализ временных рядов

Техника, описанная в гл. 11, полезна в тех случаях, когда известны уравнения движения. Однако, на практике нам редко бывают известны все релевантные переменные системы, не говоря уже об уравнениях движения. Мы можем постулировать модели и пользоваться аналитическими методами, описанными в гл. 11, для изучения различных эффектов, но большинство данных при этом порождается используемыми уравнениями. Эти методы, применимые к известным уравнениям, не очень полезны для определения того, действительно ли реальная система хаотична, или нелинейна. Тем не менее они являются исходной точкой.

Такого рода анализ систем известных уравнений - это чисто математический эксперимент. Поскольку такие системы не содержат помех, свойственных реальной жизни, мы имеем возможность изучать обратные связи, критические уровни и бифуркации. Среди критериев науки о хаосе эти системы наиболее близки к чистым формам, которые были столь дороги древним грекам.

Эмпирический анализ никогда не бывает совершенным - он всегда содержит нечеткости. Аккуратные, упорядоченные странные аттракторы теории редко встречаются в реальной жизни. Тем пе менее мы можем установить факт, что перед нами нелинейная динамическая система. Если же мы приходим к такому выводу, то можем создать модели из уравнений с целью установления закономерностей движения. Доказательство нелинейности системы - дело нелегкое, но осуществимое. Оно требует терпения и готовности к проверке различных идей, какими бы странными они ни казались.

Эмпирические исследования требуют численных экспериментов. Реальность редко согласуется с теорией.

vfill



Паккард дает математическое объяснение. Я это сделаю на интуитивном уровне. Нелинейные динамические системы являются внутренне зависимыми симультантными системами. Текущие величины каждой переменной есть трансформации прошлых величин. Напомним уравнения (11-1) для отображения Хенона:

Xti = l + Yt-a*Xf, Yti=b*Xt

Af+i, так и Yf+i содержат в себе предыдущие величи-Hbi X и У. Показатель степени делает систему нелинейной, а Чмультантная природа уравнений делает ее динамической.

Рассмотрим электронную таблицу, созданную в гл. 11 для Трактора Хенона. (Если вы ее стерли - восстановите.) В

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА

В главе 11 фазовое пространство системы было исходным началом для всех измерений. Чтобы сконструировать истинное фазовое пространство, необходимо знать все переменные, релевантные системе. В реальной жизни мы обычно начинаем с одной известной динамической переменной.

Паккард и др. (Packard et al., 1980) обрисовали простой метод, развитый Дэвидом Рюэлем для восстановления фазового пространства по одной динамической переменной. Этот метод наполняет другие размерности посредством запаздываюгцих значений одной наблюдаемой переменной. Предположим, что временной ряд А из таблицы 12.1 есть исходный временной ряд. Временной ряд В есть та же реализация с отставанием на один период и временной ряд С - она же с отставанием на два периода.

Таблица 12.1. Восстановление фазового пространства со сдвигом величин.



1.4 1.2 1

0.4 0.2

-0.2 -0.4 -О.в -0.В

-1Л -1.4

-о.в

-0.2 TWE(0

Рис. 12.1. Аттрактор Хенона. Восстановленный фазовый портрет посредством сдвига X на одну итерацию.

столбец С поместим величины X, сдвинутые на одну итерацию (в ячейку С1 поместим величину из ячейки А2), и копируем их вниз до конца столбца А. Величины в столбцах В и С будут различны. На графике аттрактора Хенона в координатах X, Y поменяем местами столбец В со столбцом С, содержащим величины Y точечного графика. Как показано на рис. 12.1, результат этой операции есть копия отображения Хенона, повернутая на 90°. Если вам даны только величины в столбце А без указания уравнений (11.1) или того, что это именно отображение Хенона, вы все равно сможете получить аттрактор Хенона. Рюэль доказал математически, что такое восстановленное фазовое пространство имеет такую же фрактальную размерность и спектр показателей Ляпунова, как и настоящее фазовое пространство двух переменных. Восстановленное фазовое пространство может быть рассчитано просто по наблюдениям, в отсутствие уравнений движения.

Мы узнали, что аттрактор Хенона является двумерны поскольку нам были известны уравнения движения. Имея одни только наблюдения и кроме них никакой информации.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [ 54 ] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86