-1 2

Если мы обратимся к компьютеру и путем перебора найдем значение f, которое максимизирует средний общий рост при остановке после трех розыгрышей, то получим / = 0,37868. Преобразуя исходы в HPR при данном значении /, получим:

№ выбрасывания

1,757369

0,621316

1,757369

0,621316 1,757369

0,621316

1,757369

0,621316

1,757369

0,621316 1,757369

0,621316

1,757369

0,621316

Теперь мы можем выразить все выбрасывания, следующие за первым, в виде значений TWR с помощью умножения на последующие выбрасывания согласно дереву игры. Число в скобках, стоящее рядом с последним выбрасыванием дерева, - это корень степени и из последнего значения TWR (и равно количеству HPR, или выбрасываний, в данном случае - 2), который является средним геометрическим HPR для конечного узла дерева:

1,757369

0,621316

№ выбрасывания

3,088329

1,09188

1,091875

0,386036

Если вы хоть чуть сомневаетесь в полученных результатах, то я рекомендую вам перепроверить несколько последних выкладок с карандашом и бумагой или на компьютере и найти значения /, которые дадут EACG, больше представленного. Допустите возможность использования разных f, то есть, что / может меняться при каждом выбрасывании. Вы обнаружите, что ваши результаты совпадают с нашими и что величина / постоянна, хотя и зависит от длины игры.

Подводя итоги, приходим к следующим выводам:

1. Максимизируя ожидаемый средний общий рост (EACG), мы всегда приходим к постоянной величине / То есть величина / не меняется от кона к кону.

Преобразуя это дерево в исходы, получим: № выбрасывания

Optimal f

f which maximizes

EACG

1 2 3 4 5 6 7 8

Number of HPRs

Рис. 2.3. Оптимальное / в качестве горизонтальной асимптоты.

Чтобы убедиться в сказанном, продолжим нашу орлянку два-к-одному . На графике (рис. 2.3) показаны значения /, которые максимизируют наш ожидаемый средний общий рост при остановке после 1-8 конов. Обратите внимание, что они приближается к оптимальному значению 0,25, которое асимптотически максимизирует рост при стремлении количества периодов владения к бесконечности.

Орлянка два-к-одному

Остановка после HPR № Значение/, максимизирующее EACG

бесконечность

0,25 (оптимальное значение f)

В реальности, если мы торгуем при значении /, которое в этой книге называется оптимальным, тем не менее, мы останемся немного субоптимальны, и степень этой субоптимальности будет уменьшаться по мере того, как будет проходить все больше и больше периодов владения. Если бы мы точно знали, сколько периодов владения будем торговать, то могли бы использовать то значение /, которое максимизирует EACG и действительно оптимально для этого количества владений (оно было бы несколько больше оптимального f). К сожалению, мы редко с определенностью можем сказать, сколько периодов владения будем торговать, поэтому остается утешаться тем фактом, что оптимальное / приближается к оптимальному значению для максимизации EACG по мере истечения все большего количества периодов

2. То /, которое оптимально в смысле максимизации EACG, является функцией от длины игры. Для игр с положительным математическим ожиданием оно изменяется от 1,0, максимизирующего среднее арифметическое HPR, немного уменьшаясь с каждым коном, и асимптотически приближается к такому значению, которое максимизирует среднее геометрическое HPR (это значение мы будем далее называть оптимальным f).

3. Поскольку длина всякого потока конечна, то наша торговля на основе оптимального / всегда будет слегка субоптимальной, независимо от того, как долго мы торгуем. Однако различие с каждым периодом владения будет уменьшаться. В итоге мы окажемся слева от вершины, положение на которой действительно оптимально. Это ни в коей мере не отрицает всего сказанного об (л + 1)-мерного изображения в пространстве рычагов (недостатки и преимущества положения рыночной системы относительно своего оптимального f). Но само это изображение зависит от количества периодов владения, на котором мы останавливаемся. По мере удлинения игры она асимптотически приближается к действительно оптимальной поверхности, которую мы выстраиваем с помощью приемов, излагаемых в книге.

владения. В заключительной главе этой книги мы познакомимся с методами постоянного доминирования, которые позволят нам подойти к идее максимизации EACG в условиях разделения счета на активную и пассивную части (т. е. когда торговля ведется менее агрессивно, чем это рекомендуется оптимальным У).

Обратите внимание, что ни одна из этих идей не рассматривается или даже не упоминается в старых среднедисперсионных моделях по типу риск-прибыль . Старые модели почти полностью игнорируют фактор финансового рычага и последствия его применения, что еще раз указывает на предпочтительность нашего нового подхода.

Теория полезности

Вопрос о теории полезности поднимается в книге из-за того, что сторонников максимизации среднего геометрического часто критикуют за то, что они способны максимизировать лишь случай логарифмической (In х) полезности. То есть они стремятся максимизировать только богатство, а не удовлетворенность инвестора. В этой книге мы попытаемся показать, что максимизацию среднего геометрического можно применять при любой функции полезности. Поэтому теперь нам придется обсудить теорию полезности в общем плане, на уровне основных понятий.

Теорию полезности часто критикуют за то, что она трактует поведение инвестора в отрыве от практики. К сожалению, большинство этих нападок исходит от людей, принявших априорное предположение, что все функции полезности инвестора являются логарифмическими, то есть что они нацелены на максимизацию капитала. Не являясь большим сторонником теории полезности, я принимаю ее из-за отсутствия лучшего объяснения предпочтений инвестора. Вместе с тем, я твердо убежден, что если функция полезности инвестора отличается от In х, то на рынках и в инвестировании в целом ему не место - ваше поло-

жение на (п + 1)-мерного изображения, которую мы обсудили в гааве 1, не зависит от вашей кривой предпочтения, и когда оно неудачно, вы расплачиваетесь за это реальными деньгами. Короче говоря, рынки - это не подходящее место для тех, кто не стремится максимизировать свой капитал. Возможно, куда комфортнее им было бы на приеме у психиатра.

Теорема ожидаемой полезности

Некто в аэропорте имеет 500 долл., но ему нужно 600 долл., чтобы купить билет, который ему необходим. Ему предлагается пари, где он с вероятностью 50% выигрывает 100 долл. и с вероятностью 50% проигрывает 500 долл. Благоприятен ли такой расклад? В данном случае, когда иметь билет жизненно необходимо, этот расклад является хорошим.

В данном случае математическое ожидание полезности значительно отличается от математического ожидания прибыли. Когда мы следуем теории полезности, мы определяем благоприятность пари на основе математического ожидания полезности, а не прибыли. Значит, в данном случае математическое ожидание полезности положительно, хотя, с точки зрения прибыли, это не так. В рамках дальнейшего обсуждения мы будем трактовать понятия полезности и удовлетворенности одинаковым образом.

Итак, у нас есть теорема ожидаемой полезности, которая гласит, что инвесторы располагают функцией полезности капитала Щх), где х - капитал, который они стремятся максимизировать. То есть инвесторы предпочитают такие инвестиционные решения, которые максимизируют их функцию полезности капитала. Лишь тогда, когда функция полезности Щх) = In х, то есть когда полезность, шш удовлетворение, капитала совпадает с самим капиталом, теорема ожидаемой полезности приведет к тому же выбору, что и максимизация капитала.

8 - 9727