Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Управлению капиталом 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

функции предпочтения полезности, использовать разные значения f при переходе от одного периода владения к другому. Если предпочтение полезности логарифмическое, то есть как при максимизации капитала, то оптимальное / всегда постоянно. Другими словами, оптимальное / не изменяется от одного кона к другому. Если предпочтение полезности отличается от In х (максимизация капитала), то нужны различные оптимальные / при переходе от одного периода владения к другому.

Максимизировать полезность можно тем же самым способом, который используется при максимизации капитала. Для этого исходам каждого сценария вместо долларовых величин нужно сопоставлять величины, выраженные в ютилах (может быть, просто в единицах полезности ?). Под ютилом понимается некая единица удовлетворенности. Набор сценариев должен содержать сценарии с отрицательными ютилами точно так же, как при максимизации капитала нужно иметь сценарии, соответствующие потере денег. Кроме того, (арифметическое) математическое ожидание набора сценариев в ютилах должно быть положительным или отрицательным, когда это улучшает общую смесь компонентов.

Но как определять переменное значение /по мере увеличения количества периодов владения, если наша кривая предпочтения полезности отличается от In х? Когда при изменении счета вы обновляете стоимость исходов (в ютилах) перед началом нового периода владения, вы получаете новое значение оптимального / Деля его на исход самого проигрышного сценария (в ютилах), вы получаете оптимальную величину/$ (также в ютилах) и определяете, сколькими контрактами торговать. Это совсем несложно: вы просто заменяете доллары на ютилы. Единственное, что еще необходимо, - это отслеживать общую величину счета в ютилах (вместо долларов). Заметьте, что если вы действуете таким образом и ваша функция предпочтения полезности отличается от In х, то в итоге вы действительно получаете изменяющиеся оптимальные / от одного периода владения к другому в долларовом выражении.

Например, если вновь обратиться к игре в монетку, которая предлагает нам два доллара за выпадение орла и отбирает один доллар за выпадение решки, то сколько нам следует ставить

на кон? Мы знаем, что если мы хотим максимизировать капитал в непрерывном режиме, в каждом следущем розыгрыше располагая теми же деньгами, что и в начале игры, то на каждый кон мы должны ставить 25% того, что можем. Это максимизировало бы не только капитал, но и полезность, если мы определим, что выигрыш двух долларов для нас в два раза ценнее, чем проигрыш одного доллара.

А что, если выигрыш двух долларов был бы для нас лишь в полтора раза ценнее проигрыша одного доллара? Для максимизации такой полезности мы сопоставляем проигрышному сценарию, то есть решкам, значение -1 (в ютилах), а выифышному сценарию, то есть орлам, - значение 1,5 (в ютилах). Определив оптимальное / применительно к измерению в ютилах, а не в долларах, получим, что оно равно 0,166666. Это означает, что для максимизации нашей средней геометрической полезности на каждый кон следует ставить по 16/3 %. То есть, чтобы определить количество контрактов, нужно общую величину счета в ютилах разделить на 0,166666.

Далее мы можем преобразовать это значение в количество контрактов на долларовую величину счета и отсюда рассчитать то значение/(между нулем и единицей), которое мы действительно используем (в долларах, а не в ютилах).

Проделав это, мы сможем применить к этой задаче все ту же кривую оптимизации капитала для игры в монетку два-к-одному , имеющей вершину при/= 0,25 (рис. 1.2), но в данном случае абсцисса ее пика будет равна 0,166666. В долларовом выражении негативные последствия субоптимальности нашей позиции будут по-прежнему зависеть от /= 0,25. Однако кривая полезности достигает вершины при /= 0,166666, где мы и находимся. Заметьте, что если бы мы расположились на этой кривой в точке с абсциссой 0,25, то оказались бы много правее ее вершины и оплачивали бы соответствующие издержки в единицах полезности.

Предположим теперь, что в данном периоде владения нам повезло и мы собираемся продолжить игру, обновляя исходы сценариев в ютилах. На этот раз у нас больше денег, поэтому полезность выигрышного сценария в следующем периоде владения понизится до 1,4 ютила. Мы вновь рассчитываем наше оп-



тимальное / в ютилах и, определилив, сколькими единицами торговать в следующем периоде владения (исходя из величины счета в ютилах), можем получить долларовую величину /(от нуля до единицы). Проделав это, мы обнаружим, что она иная, чем в предыдущем периоде владения.

В рассмотренном примере мы предполагали, что участвуем в двух и более последовательных розыгрыщах, в каждом из которых мы повторно используем те деньги, с которых начали. Если бы мы участвовали лищь в одном розыгрыще, то есть в одном периоде владения, или получали бы дополнительные деньги для игры в каждом следующем периоде владения, то оптимальной стратегией была бы максимизация арифметической ожидаемой полезности. Однако в больщинстве случаев нам приходится в следующем розыгрыше (периоде владения) вновь использовать те деньги, которыми мы располагали в предыдущем розыгрыше. Поэтому мы должны стремиться максимизировать геометрический средний рост. Для одних это может означать максимизацию геометрического ожидаемого роста капитала, для других - максимизацию геометрического ожидаемого роста полезности. Математика в обоих случаях одна и та же. И там, и там мы имеем две поверхности в (л + 1)-мерном пространстве: поверхность максимизации капитала и поверхность максимизации полезности. Для тех, кто максимизирует ожидаемый рост капитала, эти кривые совпадают.

В этом месте я повторю сказанное в начале данной главы относительно того, интересует ли вас что-то еще, кроме денег. Рынок - это не место ни для забавы, ни для того, чтобы что-то доказать себе или кому-нибудь еще. Если вы инвестируете с какой-то иной целью, кроме максимизации капитала, то будете склонны к таким инвестиционным решениям, которые вам дорого обойдутся.

В последующем мы будем предполагать, что читатель стремится к максимизации капитала. Однако если кривая предпочтения полезности читателя отличается от In х, то он может воспользоваться изложенными здесь приемами при условии, что денежная стоимость исходов сценариев будет выражена в ютилах. Это приведет к непостоянству значений оптимального / (они будут меняться от одного периода владения к другому).

Впрочем, мы предупредили этих читателей, что им все равно придется оплатить (деньгами) издержки своего субоптимального положения в (и -Ь 1)-мерном пространстве рычагов максимизации капитала. Вновь повторю, что это так потому, что безотносительно к вашей кривой предпочтения полезности, вы находитесь где-то на плоскости (см. рис. 1.2) для одной игры и где-то в (и + 1)-мерном пространстве рычагов для нескольких одновременных игр. Вы пользуетесь преимуществами, точно так же, как оплачиваете издержки этого вне всякой связи с вашей функцией предпочтения полезности. В идеале, ваша функция предпочтения полезности должна быть логарифмической.



Условные вероятности и корреляция

Наша новая методологая инвестирования требует использования условных вероятностей. Они являются краеугольным камнем нашего подхода. Не умея оценивать условные вероятности, мы не сможем определить оптимальное инвестирование. Итак, что же такое условная вероятность?

Условная вероятность - это вероятность реализации одного события при условии предварительной реализации другого события или одновременной реализации двух событий. То есть это вероятность наступления события В при условии, что уже наступило событие А. Это записывается как р(АВ), что буквально означает Вероятность события А при условии наступления события В .

Условные вероятности нередко называют также совместными вероятностями. С точки зрения математики, эти вероятности означают одно и то же. Но обычно термин условные вероятности



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42