Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Управлению капиталом 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

используют для обозначения вероятностей, когда одно из событий уже заведомо наступило (т. е. предполагается, что события происходят по очереди), а термин совместные вероятности используют, когда события происходят одновременно. На протяжении данной главы эти термины будут пониматься одинаково (поскольку одинакова их математика*); поэтому термины условные вероятности и совместные вероятности будут использоваться попеременно.

Вероятность наступления хотя бы одного из двух событий А или В равна сумме их индивидуальных вероятностей минус их условные вероятности:

р(А или В) = р(А) + р(В) - р(А I В).

Отсюда для случая двух монет получаем:

р(орел на монете 1 или орел на монете 2) = р(орел на монете 1) + р(орел монеты 2) - р(орел на обеих монетах).

То есть в численном выражении,

р(орел монеты 1 или орел монеты 2) = 0,5 + 0,5 - 0,25 = 0,75.

Если мы подбрасываем две монеты одновременно (или одну монету два раза подряд), то могли бы ожидать появления, по крайней мере, одного орла с вероятностью 0,75.

Если события взаимоисключающие, то есть оба наступить не могут в том смысле, что если наступает одно событие, то другое наступить не может - тогда условная вероятность р(А В) равна нулю, и формула принимает вид:

р(А или В) = р(А) + р(В).

* Данное утверждение автора, мягко говоря, неточно. В действительности соотношение между совместными и условными вероятностми определяется формулой: р(В I А) = Р(АВ)/Р(А). - Прим. пер.

Например, если мы бросаем монету, которая с вероятностью 0,5 выпадает орлом и с вероятностью 0,5 - решкой, то вероятность выпадения орла или решки равна 0,5 + 0,5 = 1.

А вот пример того, какое отношение имеют условные вероятности к нашей новой методологии. Предположим, что мы рассматриваем вопрос распределения инвестиций между двумя акциями, акцией ABC и акцией XYZ. Мы можем поинтересоваться, какова вероятность, скажем, 2%-ного или более роста цены XYZ при условии, что по ABC тавже имеется рост в 2% или более:

p(XYZ >= 2% I ABC >= 2%).

Или же нам понадобится узнать, какова вероятность роста по XYZ на 2% или более при условии падения по ABC на 1% или более:

p(XYZ >= 2% I ABC <= -1%).

При поверхностном рассмотрении это может выглядеть достаточно просто, как и считается в традиционной статистике, но для очень ограниченного типа случаев. В отношении условных вероятностей традиционная статистика может решить эту проблему лишь в частном случае, когда коэффициент корреляции между ABC и XYZ равен нулю.

Продолжим бросать монету. Исход индивидуального случайного события (случайного в том смысле, что мы не знаем исхода события до того, как оно произойдет, как при бросании монеты) называется случайной величиной. Так, в процессе бросания монеты исход бросания является случайной величиной, которая в данном случае может принимать два значения: орел или решка.

Предположим на время, что мы бросаем две монеты. Вероятность выпадения орла при бросании одной из двух монет равна 0,5. (Мы предполагаем, что имеем дело с идеальными монетами, у которых вероятности выпадения орла и решки равна по 0,5.) Следовательно, вероятность выпадения орла на обеих монетах равна 0,25, что получается умножением вероятности выпадения орла на первой монете 0,5 на вероятность выпадения орла на второй монете 0,5.



Эта совместная вероятность 0,25 выпадения орлов на обеих монетах может быть получена из того, что всего имеется четыре равновероятных возможных исхода при бросании двух монет (00, ОР, РО, РР), образующих выборочное пространство. Следовательно, щансы 00 равны 1 из 4, или 0,25.

Количество реализаций (частота) и вероятность

Чаще всего совместные вероятности для двух случайных переменных представляются в табличной форме. Например, для нащего потока исходов одновременного бросания двух монет (00, ОР, РО, РР) мы можем составить таблицу, демонстрирующую эти четыре одновременных события:

Количество реализаций (частота)

Монета 1

Орел

Рещка

Орел

Рещка

Монета 2

Часто с помощью таблиц представляют и вероятности:

Веро5пности

Монета 1

Монета 2

Орел

Рещка

Орел

0,25

0,25

Рещка

0,25

0,25

Мы предполагаем, и вполне правомерно, что между двумя монетами нет никакой корреляции. То есть исходы бросаний двух монет не зависят друг от друга. Если бы это было не так, то каждый из четырех возможных исходов (00, ОР, РО, РР) не имел бы одну и ту же вероятность реализации.

Теперь введем понятие стохастической независимости. Если совместная вероятность двух событий равна произведению их индивидуальных вероятностей (как в нащем примере с бросанием монеты), то говорят, что налицо стохастическая независимость. То есть, когда верно выражение

р(ВА)=р(А)*р(В)

[3.01],

тогда имеет место стохастическая независимость. Часто через это уравнение определяют совместную вероятность независимых случайных переменных.

Стохастическая независимость, следовательно, синонимична в используемом нами смысле нулевому коэффициенту корреляции между двумя потоками исходов.

Поэтому при наличии стохастической независимости мы можем говорить, что коэффициент корреляции равен нулю. Обратное, однако, неверно. Мы вскоре увидим, что бывает и так, когда коэффициент корреляции равен нулю, а стохастической независимости нет.

Когда мы говорим о таблице исходов одной случайной переменной, мы имеем в виду безусловное распределение этой переменной. Например:

Монета 1 Орел Рещка

Когда речь идет о таблице исходов большего количества переменных, мы имеем в виду то, что называется совместным распределением переменных. Например:



Орел

Решка

Орел

0,25

0,25

Решка

0,25

0,25

Монета 2

Обычно условные вероятности рассматриваются в предположении стохастической независимости. Во многих случаях, вроде бросания двух монет, это предположение оправданно. Но есть масса реальных ситуаций, например, при оценке вероятности того, что в определенный день одновременно вырастут две акции (акции обычно положительно коррелированны друг с другом, т. е. коэффициент корреляции > 0), это традиционное предположение теряет силу. Совместные вероятности нельзя рассчитать простым перемножением индивидуальных вероятностей.

Эта проблема изводила меня в течение трех лет. Я пытался найти решение на пути обобщения теории условных вероятностей. То есть такое, которое бы давало условные вероятности для любых значений коэффициента корреляции, а не только для удобных значений, вроде О, 1 или -1. Мне нужна была теория, которая давала бы условные вероятности для всех значений коэффициента корреляции между двумя случайными переменными.

Я докучал университетам, докторам математики, свихнувшимся профессорам, южноамериканским знахарям, статистикам из страховых обществ и всем прочим, кто, по моему мнению, мог бы иметь ключ к этой проблеме. Часами я просеивал горы скучных технических журналов.

Я лично непрестанно искал решение этой проблемы. Я безрезультатно возился с идеей суперпозиции двух распределений исходов под углом между ними, согласно коэффициенту корреляции, вьгаисляя интегралы по образуемым ими поверхностям. Долгое время я думал, что смогу воспользоваться направляющими (частью очевцгшых на желаемых верояшоегях и туманных в осгалыюм). Я хотел выстроить их под углами, согласно их корреляции, пустить вектора, которые пройдут через очевидные части. Пересекаемые ими области будут разделены параллелограммом, образованным возможными зонами пересечения событий, откуда будут получены совместные вероятности. Я вывел все необходимые формулы и запрограммировал их в виде огромных электронных таблиц для анализа результатов этой

концептуальной эквилибристики. На это ушла масса блокнотных страниц, салфеток и этикеток спичечных коробков.

Чем больше я работал над этой проблемой, тем более важным казалось мне ее решение. Почему же никто не мог решить проблему совместных вероятностей, столь важной для практических нужд? Почему же условные вероятности проработаны лишь для самых удобных значений коэффициента корреляции? Это было единственное, чего не хватало нашей новой методологии инвестирования. Я вывел целевую функцию, но в ней в качестве аргументов использовались именно эти условные вероятности.

Как вы увидите в следующей главе, для реализации более совершенного подхода к инвестированию имелось все, кроме способа расчета совместных вероятностей по любым значениям коэффициента корреляции между двумя потоками случайных переменных.

Подлинное страдание причиняла мне известная теорема об условных вероятностях, утверждавшая, что совместную плотность вероятности нельзя получить из безусловных плотностей вероятности компонент. Согласно традиционной точке зрения считалось, что в отсутствие стохастической независимости функция совместной плотности вероятности является уникальной, вполне самостоятельной, которая возникает как бы ниоткуда! То есть она не выражается через функции безусловных плотностей составляющих, а есть новая, самостоятельная функция плотности вероятности, которая не может быть восстановлена из функций безусловных плотностей составляющих. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующую таблицу, позаимствованную у Феллера*, которую мы графически проиллюстрировали на рис. 3.1.

0 12 3 Безусл. плотность Y

у 2

Безусл. плотность X

* William Feller, An Introduction to Probabililty Theory and Its Applications, Vol. II, New York: John Wiley & Sons, 1966.

Монета 1



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42