Целевая функция

Целевая функция, которую мы хотим максимизировать, представляет собой среднее геометрическое от HPR, которое обозначается просто G:

G(/,./ ) = (nHPRj

\(1/ЕРгоЬ,) -1 *

[4.01].

где:

п - количество сценарных спектров (рыночных систем или компонентов портфеля);

т = возможное количество комбинаций исходов между различными сценарными спектрами (рыночными системами) в зависимости от количества сценариев в каждом наборе; т = число сценариев в первом спектре * число сценариев во втором спектре *...* число сценариев в и-том спектре;

РгоЬ, = сумма вероятностей всех т HPR для данного множества значений / РгоЬ, обозначает сумму величин в фигурных скобках из выражения [4.02] для всех значений т данного набора значений f,

HPR = итог к-то периода владения. Эта величина равна:

HPR,= (i + (E(/;*(-PVBL))))

/=1 j-i+l

[4.02].

где:

и = количество компонент (сценарных спектров, т. е. рыночных систем) в портфеле;

f. = значение f, используемое для /-ой компоненты; f. должно быть > О и может быть не ограничено большим (т. е. может быть больше 1,0);

РЦ. = прибыль или потеря, приносимая исходом i-ой компоненты (т. е. сценарного спектра или рыночной системы), ассоциированная с к-ой комбинацией сценариев;

BL. = худший исход i-ого сценарного спектра (рыночной системы).

То есть Probj в предьщушем выражении для G имеет вид:

р ь,=(П(П о.1л)))

[4.03]

(=1 j=i+l

Величина ~ это просто совместная вероятность (пред-

мет обсуждения предьщущей главы) сценариев i-го и j-ro спектров, которые входят в к-ую комбинацию сценариев. Например, если у нас есть три монеты, то каждой из них соответствует сценарный спектр из двух сценариев: орел и решка. Количество сценарных спектров (2) выражается переменной п. Откуда получаем восемь (2*2*2) возможных комбинаций исходов, которые обозначаются переменной т.

В выражении [4.01] переменная к изменяется от 1 до m в одометрическом {лексикографическом) порядке:

То есть изначально все спектры установлены на свои худшие (крайне левые) значения. Затем крайне правый спектр циклически проходит через все свои значения, после чего второй справа спектр переходит к следующему (справа) сценарию. Продолжаем таким образом дальше: циклически меняем все сценарии крайне правого спектра, когда второй справа сценарный спектр

циклически прошел все свои значения, третий переходит к своему следующему сценарию. Данный процесс абсолютно аналогичен тому, как работает одометр в автомобиле, откуда и взялось название одометрический.

Таким образом, если бы к было больше 3 (т. е. к = 3), i равно 1, а j равно 3, то величина PCilJ) обозначала бы совместную вероятность выпадения монеты 1 решкой и выпадения монеты 3 решкой. Наконец, подставив выражения [4.02] и [4.03] в [4.01], мы можем создать одну полную целевую функцию. То есть мы сможем максимизировать G в виде:

с(/;.../ ) = (П((1 + (1

к=7 1=1

-1 п

Данная целевая функция, которую нам нужно максимизировать, выражает суть нашей новой методологии инвестирования капитала. Она дает нам высоту, среднее геометрическое HPR, в (и + 1)-мерном пространстве используемых значений / Это точное значение, безотносительно к тому, как много сценарных спектров используется в качестве аргументов. Это - целевая функция модели в пространстве рычагов.

Хотя выражение [4.04] может показаться несколько устрашающим, нет никаких причин пугаться его. Как можно заметить, это выражение представляет собой компактную форму выражения [4.01], с которой работать много удобнее.

Возвращаясь к нашему примеру с тремя монетами, предположим, что мы выигрываем два доллара на выпадении орла и проигрываем один доллар на выпадении решки. У нас имеется три сценарных спектра, три рыночных системы, называемые Монета 1, Монета 2 и Монета 3. Два сценария, орел и решка, представляют каждую монету, каждый сценарный спектр. Для простоты будем предполагать, что взаимные коэффициенты корреляции всех трех сценарных спектров (монет) равны 0.

Следовательно, мы должны найти три различных значения / Мы отьюкиваем оптимальное значение /для Монеты 1, Монеты 2 и Монеты 3, обозначаемые через /, и соответственно, которые дают наибольший рост, то есть комбинацию трех значений / которые приводят к наибольшему среднему геометрическому HPR (выражение [4.01] или [4.04]).

В данный момент мы не обращаем никакого внимания на избранный метод оптимизации. Сейчас наша цель заключается в том, чтобы показать, как вычисляется целевая функция. Поскольку методы оптимизации обычно назначают переменным некоторые начальные значения, мы произвольно выбираем 0,1 в качестве начального значения для всех трех величин /

Для простоты вместо формулы [4.04] мы будем использовать выражение [4.01]. Исходя из него, мы начнем перебирать все комбинации сценарных наборов по возрастанию индекса к от 1 до т, вычисляя HPR комбинаций сценарных наборов по формуле [4.02] и перемножая все эти HPR вместе. Каждый раз, вычисляя выражение [4.02], нужно отслеживать показатели степени в фигурных скобках, ибо далее нам понадобится их сумма.

Итак, мы начинаем с к = 1, где сценарный спектр 1 (Монета 1) поворачивается решкой, как и два других сценарных спектра (монеты).

Формулу [4.02] можно переписать в виде:

HPR,= (1 + Cf

с = (/;*(-рц,/вь))

[4.05]

=(П(П

Заметьте, что помещенный в скобки показатель степени в формуле [4.02], который мы должны отслеживать, в формуле [4.05] обозначен переменной х. Его же представляет и [4.03].

Таким образом, для получения С мы действуем следующим образом. Проходя через каждый сценарный спектр, берем исход

текущего сценария согласно значению индекса к и делим его отрицательное значение на величину наихудшего исхода в данном спектре. Полученное частное умножаем на значение /, которое используется с данным сценарным спектром. По мере продвижения от одного сценарного спектра к другому эти величины суммируются.

Индекс / обозначает тот сценарный спектр, который мы рассматриваем в текущий момент. Наибольшая потеря в сценарном спектре 1, происходящая при выпадении решки, составляет один доллар (т.е. -1). Следовательно, BL, равен -1 (каковыми будут и ВЦ, и BLj, поскольку наибольшая потеря в каждом из двух других сценарных спектров, или на двух других монетах, равна -1). Ассоциированная величина PL, то есть исход того сценария в i-ом спектре, который соответствует тому сценарию этого спектра, на который указывает к, равна -1 в сценарном спектре 1 (так же, как и в двух других спектрах). В данный момент значение / равно 0,1 (как это сейчас и в двух других спектрах). Итак:

с=Е (/;*(-рц,/вь.))

С = (0,1 * (-1/-1)) + (0,1 * (-1/-1)) + (0,1 * (-1/-1)) С = (0,1 * -1) + (0,1 * -1) + (0,1 * -1) С = -0,1+ -0,1+ -0,1 = -0,3

Обратите внимание, что значения PL отрицательны, поэтому выражения во внутренних скобках положительны.

Теперь берем значение для С из формулы [4.05], прибавляем к нему 1 и получаем 0,7 (так как 1 + (-0,3) = 0,7). Теперь мы должны определить показатель степени, или переменную х из формулы [4.05].

Величина P(ij) обозначает просто совместную вероятность к-го сценария из i-ro спектра и к-го сценария из j-ro спектра. Поскольку индекс к в данный момент равен 1, то он указывает на выпадение решки во всех трех сценарных спектрах. Значение х находим следующим образом. Берем произведение

совместных вероятностей сценариев из спектров 1 и 2, умножаем его на совместную вероятность сценариев из спектров 1 и 3 и на совместную вероятность сценариев 2 и 3. Иначе это можно выразить так:

2 3 3

Если бы имелось четыре спектра, то мы бы взяли произведение всех совместных вероятностей согласно схеме:

1 1 1 2 2 3

2 3 4 3 4 4

Поскольку все наши совместные вероятности равны 0,25, для X получаем:

=(П(П рш))

(1/(1-1))

х = (0,25 * 0,25)

х= (0,015625)

(1/(3-1))

х = (0,015625) х = 0,125