Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Управлению капиталом 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 [ 28 ] 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

Таким образом, х, равное 0,125, составляет совместную вероятность к-й комбинации сценариев. (Отметьте, что мы собираемся определить совместную вероятность трех случайных переменных с использованием совместных вероятностей двух случайных переменных!)

Отсюда HPR,= 0,7° = 0,9563949076, когда к= 1. С помощью формул [4.02] или [4.05] мы должны вычислить эту величину для всех значений к от 1 до m (в данном случае m равно 8). Проделав это, получим:

HPR.

РгоЬ,

0,956395

0,125

0,125

0,125

1,033339

0,125

0,125

1,033339

0,125

1,033339

0,125

1,060511

0,125

Суммирование по формуле [4.04] всех Prob, получаемых из [4.03], дает 1. Далее, перемножив все HPR, согласно [4.01] или [4.04], получим 1,119131. Откуда следует, что величина G из [4.01], равная 1,119131, отвечает значениям 0,1, 0,1, 0,1 величин /р / и / соответственно.

G(o,i, 0,1, 0,1) = (П hprJ i

(1ДРгоЬ,)

G(0,1, 0,1, 0,1) = (0,956395 * 1 * 0,1 * 1,033339 * 1 * 1,033339 *

* 1,033339 * 1,0605011) /*°* 0,125+ 0,125+ 0,125+ 0,125 + 0,125 + 0,125+ 0,125))

G(0,1, 0,1, 0,1) = (1,119131)(/

Далее, руководствуясь используемым методом математической оптимизации, мы стали бы изменять нащи значения/ В итоге мы напши бы оптимальные значения 0,21, 0,21, 0,21 для /, / и /, соответственно. Это дало бы нам:

HPR.

Prob,

0,883131

0,125

0,125

0,125

1,062976

0,125

0,125

1,062976

0,125

1,062976

0,125

1,107296

0,125

2 3 4 5 6 7

Эти данные получаются по формуле [4.01] следующим образом:

/гг \(1ДРгоЬ,)

(?(0,21, 0,21, 0,21) = (П HPRj W *

G(0,21, 0,21, 0,21) = (0,883131 * 1 * 0,1 * 1,062976 * 1 * 1,062976 * * 1 062976 * 1 10729б)*/*- 0,125+ 0,125+ 0,125+ 0,125+ 0,125+ 0,125+ 0,125))

G(0,21, 0,21, 0,21) = (1,174516)(/> G(0,21, 0,21, 0,21) = 1,174516

Данная комбинация значений / дает наибольщее G для заданных сценарных спектров. Поскольку это очень упрощен-

G(0,1, 0,1, 0,1) = 1,119131



ный случай, то есть все сценарные спектры одинаковы и корреляция между ними нулевая, мы получили одинаковые значения (0,21) для всех сценарных спектров. Обычно так не бывает, и вы получите свое значение /для каждого сценарного спектра.

Теперь, когда мы знаем оптимальные значения для всех сценарных спектров, мы можем определить, насколько велики эти десятичные величины в денежном выражении. Для этого разделим наихудший исход (потерю) сценариев каждого спектра на отрицательное значение оптимального /этого спектра. Например, для первого сценарного спектра. Монеты 1, максимальная потеря была равна -1. Деля -1 на отрицательное оптимальное /, -0,21, получаем 4,761904762 в качестве значения /$ для Монеты 1.

Подведя итоги, укажем:

1. Начните с некоторого набора значений/для/... , где л -количество компонент в портфеле, т. е. рыночных систем или сценарных спектров. Начальный набор значений /задается используемым методом оптимизации.

2. Переберите комбинации сценарных наборов в одометрическом порядке по индексу А: от 1 до т, для каждого к вычислите HPR и перемножьте их вместе. Попутно ведите текущую сумму показателей степени, в которые возводятся эти HPR.

3. Вьиислите последнее HPR при к - т. Возведите последнее произведение в степень, обратную сумме показателей (вероятностей) всех HPR, и получите G - среднее геометрическое HPR.

4. Это среднее геометрическое HPR дает нам высоту в (л + 1)-мерном пространстве. Нам нужно найти вершину в этом пространстве, поэтому далее нам следует выбрать и опробовать новый набор значений /, который помог бы нам найти эту вершину. Этот процесс и называется математической оптимизацией.

Математическая оптимизация или отыскание корней

Уравнения имеют левую и правую части. Вычитая одну из другой, получаем уравнение, одна из частей которого равна нулю. Отыскивая корни уравнения, вы хотите узнать, какие значения независимой переменной (-ньгх) разрешают это уравнение (это -корни). Найти корни можно с помощью традиционных методов, например методом Ньютона (метод касательных).

Можно сказать, что отыскание корней имеет отношение к математической оптимизации, так как первая производная в точке оптимума функции (т. е. на экстремуме) будет равна 0. Следовательно, вы могли бы заключить, что традиционные методы отыскания корней, например метод Ньютона, можно использовать для решения оптимизационных задач (применение собственно методов оптимизации для отыскания корней уравнения, напротив, чревато обилием трудностей).

Наша дискуссия, однако, будет касаться лишь методов оптимизации, а не методов отыскания корней, как таковых. Сведения о последних можно почерпнуть в таком уникальном источнике, как Численные методы *.

Методы оптимизации

Математическую оптимизацию можно вкратце описать следующим образом. У вас есть некая целевая функция (обозначим ее G), зависящая от одного или большего количества независи-

* William И. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, and William T. Vetterling, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, New York: Cambridge University Press, 1986.



мых переменных (которые мы обозначим /, f)- Вы хотите найти значение (-ния) независимой переменной (-ных), доставляющее минимум (или иногда, как в нашем случае, максимум) целевой функции. Максимизация и минимизация, по сути, являются одним и тем же (то, что для одного равно G, для другого будет -О).

В самом примитивном случае вы можете оптимизировать следующим образом: перебирая все комбинации значений переменных и подставляя их в целевую функцию, искать такую комбинацию, которая дает наилучший результат. Предположим, например, что мы хотим найти оптимальное /для одновременного бросания двух монет с точностью до 0,01. Тогда мы могли бы неизменно проводить расчеты для монеты 1 на значении 0,0, в то время как для монеты 2 переходить от 0,0 к 0,01 к 0,02 и так далее, пока не дойдем до 1,0. После этого мы могли бы вернуться к монете 1 и, просчитывая ее на значении 0,01, опробовать все возможные значения для монеты 2. Действуя таким образом и далее, мы придем к тому, что значения обеих переменных окажутся на их максимумах, то есть станут равны 1,0. Поскольку у каждой переменной в данном случае имеется по 101 возможному значению (от О до 1,0 включительно с щагом 0,01), то мы должны опробовать 101 * 101 комбинаций, то есть целевая функция должна быть рассчитана 10201 раз.

При желании, мы могли бы потребовать большей точности, чем 0,01. Тогда у нас стало бы 1001 * 1001 комбинаций, подлежащих опробованию, то есть целевую функцию пришлось бы рассчитать 1002001 раз. Если бы мы собрались взять три переменных вместо двух и потребовали бы точности 0,001, то нам пришлось бы вычислить целевую функцию 1001 * 1001 * 1001 раз, что равно 1003003001, то есть нам пришлось бы вычислить целевую функцию более одного миллиарда раз. А ведь мы используем всего лишь три переменных и требуем лишь 0,001 точности!

Хотя рассмотренный примитивный случай оптимизации наиболее понятен по сравнению с использованием всех других методов оптимизации, он же обладает сомнительным достоинством быть слишком медленным, для применения к большинству задач.

Почему не перебрать все значения первой переменной и найти оптимум для нее, потом, зафиксировав первую переменную на оптимуме, перебрать все значения второй переменной и, найдя ее оптимум, получить таким образом оптимумы для первых двух переменных, после чего искать оптимум для третьей переменной при фиксированных первых двух на их оптимумах и так далее, пока задача не будет решена?

Недостатком этого второго подхода является то, что часто таким способом невозможно найти оптимальный набор значений переменных. Отметьте, что, когда мы добираемся до третьей переменной, значения первых двух равны своим максимумам, как будто других переменных нет. Поэтому, при оптимизации по третьей переменной первые две, зафиксированные на своих оптимумах, мешают нахождению ее оптимума. То, на чем это может закончиться, представляет собой не оптимальный набор значений, а, скорее, оптимальное значение для первой переменной, оптимум для второй, когда первая зафиксирована на своем оптимуме, оптимум для третьей, когда первая зафиксирована на своем оптимуме, а вторая установлена на некоем субоптимуме, котбрый оптимален при условии помех со стороны первой переменной, и так далее. Иногда удается провести такой перебор по всем переменным и в итоге получить-таки оптимальный набор значений переменных, но когда переменных больше трех, он становится все более и более длительным, если вообще осуществимым, учитывая влияние других переменных.

Кроме двух описанных грубых методов математической оптимизации существуют и более совершенные. Это - замечательная ветвь современной математики, и я настоятельно призываю вас познакомиться с ней, просто в надежде, что вы извлечете из этого какую-то долю того удовлетворения, которую получил я от ее изучения.

Экстремум, максимум это или минимум, может быть либо глобальным (действительно наибольшее или наименьшее значение), либо локальным (наибольшее или наименьшее значение в непосредственной окрестности). Наверняка знать глобальный экстремум почти невозможно, так как вы не представляете себе область значений независимых переменных. Но если область значений вам известна, то вы просто нашли локальный экстремум. Поэтому зачастую, когда люди говорят о глобальном



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 [ 28 ] 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42