Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Управлению капиталом 

1 2 3 4 5 [ 6 ] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

Эту формулу можно применять, однако, только когда возможный выигрыш равен проигрышу. Например, если с вероятностью 60% вы выигрываете один доллар и проигрываете один доллар с вероятностью 40%, получаем:

/=0,6-0,4 = 0,2.

То есть для того, чтобы удовлетворить критерий Келли, нужно бьшо бы на каждую игру ставить по 0,2, или 20%, нашего капитала.

Когда выигрываемые и проигрываемые величины не одинаковы (и даже если равны), можно использовать следующую формулу:

[1.04а],

где:

р - вероятность выигрыша в игре;

b - отношение величины выигрыша по выигрышной сделке к величине проигрыша по проигрышной сделке.

Так, для игры вроде нашей орлянки два-к-одному , упоминавшейся ранее, получаем:

((2 + 1) * 0,5 - 1)

(3 * 0,5 - 1) 2

[1.04а]

= 0,25.

То есть оптимальная ставка на каждый кон игры составляла бы 25% от величины счета.

Обратите внимание, что числитель в формуле [1.04а] равен (арифметическому) математическому ожиданию [1.01а]. Поэтому можно сказать, что:

the edge

[1.04b]

Исходя из этого, формулу Келли также часто представляют в виде:

[1.04с]

Любая из формул [1.04] будет удовлетворять критерию Келли, или, как я говорю, рассчитывают оптимальное /, независимо от того, равны или нет величины выигрыша и проигрыша. В формуле [1.03] величины выигрыша и проигрыша должны быть равны.

Однако я считаю, что все эти формулы применимы только к распределению Бернулли, имеющему лишь два различных исхода. Поскольку многие азартные игры имеют только два различных исхода (выигрышный исход и проигрышный исход), проблемы не возникает. В торговле же сделка может иметь много исходов. Поэтому я вывел формулу, дающую оптимальную долю при наличии более двух возможных исходов.

Для начала мы должны усвоить понятие дохода за период владения (HPR). Оно обозначает просто процент чистого дохода от данной сделки плюс единица. Следовательно, чистый доход в 10% эквивалентен HPR, равному 1,10, а убыток в 25% - HPR в 0,75.

Но процент дохода, который мы используем, является функцией величины, которая используется в формуле для / То есть мы можем утверждать, что математически HPR представляет собой:

HPR = 1 +/* (

- trade biggest loss

[1.05]



Предположим теперь, что у нас имеется Т сделок. Мы можем перемножить HPR всех этих сделок и получить коэффициент прироста нашего исходного капитала, который будем называть относительным конечным капиталом (TWR):

TWR =

[1.06]

TWR=[] !+/*(

- trade. 1

biggest loss

Наконец, если извлечь корень степени Т из [1.06], то получим средний общий прирост за игру, называемый также средним геометрическим HPR, важность которого прояснится далее:

G = TWRi/

[1.07]

(l+/*(

- trade. biggest loss

Ho как из этих формул получить значение /? Оно максимизирует выражения [1.06] или [1.07] и отыскивается с помощью одномерного перебора. Другими словами, оптимальное /- это такое f, которое максимизирует либо TWR, либо G (среднее геометрическое HPR).

Предположим, например, что мы провели две сделки (т. е. Т= 2), в которых, как в орлянке два-к-одному , бьшо потеряно 1 доллар и выиграно 2 доллара, соответственно. В качестве метода поиска оптимального / воспользуемся довольно грубым перебором значений / с шагом 0,01, начиная с 0,01 и кончая 1,0. То есть, взяв /, равное 0,01, вычислим величины HPR. Поскольку Г= 2, нашим двум сделкам будут соответствовать только два HPR:

Trade

-1000 1 + 0,01 * (-1000 / -1000) = 1 + 0,01 * -1 = 0,99

2000 1 + 0,01 * (-2000 / -1000) = 1 + 0,01 * 2 = 1,02

Перемножив HPR, получим TWR = 0,99*1,02 = 1,0098. Оно соответствует значению /= 0,01. Далее попробуем значения 0,02, 0,03 и так далее до тех пор, пока получаемое значение TWR станет меньше предьщущего. Это произойдет на значении/= 0,26, что дает оптимальное/= 0,25, на котором достигается максимум кривой.

Но что следует из того, что оптимальное /имеет такое-то значение? Как мы знаем, это значит, что на каждый кон нужно ставить долю торгового счета, равную / А торгуя, скажем, фьючерсами, сколько нужно задействовать контрактов, чтобы это было эквивалентно ставке в х% счета?

Решение этой задачи, которое бьшо дано в моей книге 1990 г., получается делением абсолютной величины самого большего проигрыша на оптимальное / Результатом будет долларовая величина, обозначаемая через /$:

/$ =

abs(biggest losing trade) optimal /

[1.08]

Так, если наше оптимальное / равно 0,25, а наибольший проигрыш равен -1000, то получим:

/$ =

abs(-lOOO) 0,25

1000 0,25

= 4000

Далее, разделив /$ на величину счета, получим количество контрактов (или долей акции), которым нужно торговать. Так, если мы торгуем одним контрактом на каждые 4000 долларов счета, как в нашем примере, то мы в каждой игре рискуем 25% счета.



Эта величина - наш счет, деленный на/$, - далее округляется, ибо можно делать только целые ставки. Причем округляется в меньшую, а не в большую сторону, поскольку в случае ошибки выгоднее оказаться левее вершины кривой от / (имея меньшее количество контрактов), нежели правее (имея большее количество контрактов):

, . . . / account equity \ Number of units to trade = mt( -), [1.09],

Number of units to trade - количество контрактов; account equity - свободные средства на счету.

Итак, если на счете имеется 25000 долларов, то:

, . /25000 ч

Number of units to trade = int( qqq )

= int(6,25) = 6

Значит, торговать нужно было бы шестью контрактами.

Какой смысл единицы! Такой, который вы в нее вкладываете. Это может быть один товарный контракт, опционный контракт, одна или 100 долей акции. Вы должны решить, какой будет единица актива, которым вы торгуете. И лишь потом определять ваш HPR в расчете на торговлю одной единицей. То есть долларовая величина выигрыша или проигрыша по сделкам привязана к торговле тем, что вы приняли за единицу. Рассчитав величины HPR и воспользовавшись формулой [1.08], задающей величину /$, вы узнаете, что торгуете 1 единицей на каждые /$ вашего счета.

Иногда задать единицу нелегко. Например, некто, торгующий валютой на межбанковском рынке, сталкивается с дополнительной проблемой, когда размер позиции является функцией цены. Так, межбанковскому трейдеру для определения, каким

количеством единиц следует торговать, нужно выполнить свои расчеты по управлению капиталом на основе обратной операции подобно тому, как это делается на фьючерсном рынке, и только после этого вернуться к форексу.

Поскольку, чем точнее выражается размер позиции в торговых единицах, тем лучше - вы больше получаете от максимизации ожидаемой величины логарифма счета - нужно стараться брать единицы как можно меньшей величины. Например, вместо единицы в 100 долей акции, возможно, стоит взять единицу величиной в одну долю и перейти к торговле неполными лотами. Вместо использования полных фьючерсных контрактов, возможно, стоит перейти к единице, основанной на мини-контракте. Так, если один котракт идет за два мини-контракта, то при расчетном оптимуме в одиннадцать мини-контрактов вы можете задействовать пять полных и один мини-контракт. Действуя таким образом, вы больше получите от максимизации ожидаемого логарифма счета, чем при торговле крупными единицами.

Геометрическое математическое ожидание - это то, что вы получили на единицу по сделке. Оно гораздо важнее арифметического математического ожидания, которое часто называют средней сделкой. В действительности же, настоящая средняя сделка -это геометрическое математическое ожидание - настоящая, ибо это именно то, что вы получили на контракт по сделке. Оно рассчитывается следующим образом:

(Геометрическое) Математическое ожидание = =/$ * (среднее геометрическое HPR- 1).

Так, если для нашей орлянки два-к-одному арифметическое математическое ожидание равно 0,50, то геометрическое математическое ожидание на уровне 0,25/ будет:

(Геометрическое) Математическое ожидание = = 4* (1,060660172 - 1) = 4 * 0,060660172 = 0,242640688.



1 2 3 4 5 [ 6 ] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42